四节空间曲线及其方程

第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、二、 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影返回返回空间曲线空间曲线可以看作两个曲面的交线可以看作两个曲面的交线. 设设 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 0, zyxF 0, zyxG和和 是两个曲面的方程是两个曲面的方程,它们的交线为它们的交线为C(图图7-44). . 0, 0,zyxGzyxF(1)因为曲线因为曲线C上的任何点的坐标应上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程同时满足这两个曲面的方程, 所以应满足方程组所以应满足方程组xozy1S2SC图图7-44例例1 方程组方程组 632, 122zxyx表示怎样的曲线表示怎样的曲线?解解 方程组中第一个方程表示母线平行于方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面轴的圆柱面, 其其准线是准线是xOy面上的圆面上的圆, 圆心在原点圆心在原点O,半径为半径为1. 反过来反过来,如果点如果点M不在曲线不在曲线C上上, 那么它不可能同时在两个曲那么它不可能同时在两个曲面上面上, 所以它的坐标不满足方程组所以它的坐标不满足方程组(1). 因此因此, 曲线曲线C可以用方可以用方程组程组(1)来表示来表示. 方程组方程组(1)叫做叫做空间曲线空间曲线C的一般方程的一般方程. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面轴的柱面, 由于由于它的准线是它的准线是zOx面上的直线面上的直线, 因此它是一个平面因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 如图如图7-45 所示所示.图图7-45 xyzO例例2 方程组方程组 22222222,ayaxyxaz表示怎样的曲线表示怎样的曲线?解解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为半径为a的上半球面的上半球面. 0 ,2a, 半径为半径为 2a第二个方程表示母线平行于第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面轴的圆柱面, 它的准线是它的准线是xOy面上的圆面上的圆, 这圆的圆心在点这圆的圆心在点 返回返回二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 空间曲线空间曲线C的方程除了一般方程之外的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示也可以用参数形式表示, 只要将只要将C上动点的坐标上动点的坐标x，y，z表示为参数表示为参数t的函数的函数: .,tzztyytxx(2) 当给定当给定 1tt 时时,就得到就得到C上的一个点上的一个点 111,zyx随着随着t的变动便可得曲线的变动便可得曲线C上的全部点上的全部点. 方程组方程组(2)叫做叫做空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程. 都是常数都是常数), 那么点那么点M构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线. 试建立试建立例例3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面 222ayx 上以角速度上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转, 同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升(其其中中 v, 其参数方程其参数方程.解解 取时间取时间t为参数为参数. 设当设当 0 t时时, 0 , 0 , aA处处. 经过时间经过时间t, 动点由动点由A运动到运动到 zyxM,(图图7-47).动点位于动点位于x轴上的一点轴上的一点 A MM t xyzo图图7-47h记记M在在xOy面上的投影为面上的投影为 M , M 的坐标为的坐标为 . 0 , yx 由于动点在圆柱面上以角速度由于动点在圆柱面上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转, 所以经过时间所以经过时间t, tMAO .sinsintaMAOMOy 从而从而 ,coscostaMAOMOx 由于动点同时以线速度由于动点同时以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升, 所以所以vtMMz 因此螺旋线的参数方程为因此螺旋线的参数方程为 .,sin,cosvtztaytax 也可以用其他变量作参数也可以用其他变量作参数; 例如令例如令 t , 则螺旋线的参数则螺旋线的参数方程可写为方程可写为 .,sin,cos bzayax这里这里 vb , 而参数为而参数为 螺旋线是实践中常用的曲线螺旋线是实践中常用的曲线. 例如例如, 平头螺丝钉的外缘曲线平头螺丝钉的外缘曲线就是螺旋线就是螺旋线. 当我们拧紧平头螺丝钉时当我们拧紧平头螺丝钉时, 它的外缘曲线上的它的外缘曲线上的任一点任一点M, 一方面绕螺丝钉的轴旋转一方面绕螺丝钉的轴旋转, 另一方面又沿平行于另一方面又沿平行于轴线的方向前进轴线的方向前进, 点点M就走出一段螺旋线就走出一段螺旋线.螺旋线有一个重要性质螺旋线有一个重要性质: 当当 从从 0 变到变到 0时时,z由由 0 b变到变到 bb 0特别是当特别是当MO 转过一周转过一周, 即即 2 时时, M点就上升固定的点就上升固定的高度高度bh 2 . 这个高度这个高度 bh 2 在工程技术上叫做在工程技术上叫做螺距螺距. 这说明当这说明当 MO 转过角转过角 时时,M点沿螺旋线点沿螺旋线上升了高度上升了高度 b即上升的高度与即上升的高度与 MO 转过的角度成正比转过的角度成正比. ,* 曲面的参数方程曲面的参数方程 下面顺便介绍一下曲面的参数方程下面顺便介绍一下曲面的参数方程. 曲面的参数方程通常是曲面的参数方程通常是含两个参数的方程含两个参数的方程, 形如形如 .,tszztsyytsxx 例如空间曲线例如空间曲线 tztytx , t绕绕z轴旋转轴旋转, 所得旋转曲面的方程为所得旋转曲面的方程为 .,sin,cos2222tzttyttx 20t（4）这是因为这是因为, 固定一个固定一个t, 得得 上一点上一点 tttM ,1, 点点 1M绕绕z轴旋转轴旋转, 得空间的一个圆得空间的一个圆, 该圆在平面该圆在平面 tz 上上, 其半其半径为点径为点 1M到到z轴的距离轴的距离 22tt , 因此因此, 固定固定t的方的方程程(4)就是该圆的参数方程就是该圆的参数方程. 再令再令t在在 ,内变动内变动,方程方程(4)便是旋转曲面的方程便是旋转曲面的方程. 例如直线例如直线 tztyx2, 1绕绕z轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面(图图7-48)的方程为的方程为 .2,sin1,cos122tztytx (上式消去上式消去t和和 ,得曲面的直角坐标方程为得曲面的直角坐标方程为 41222zyx ) 图图7-48 yzxo又如球面又如球面 2222azyx 可看成可看成zOx面上的半圆周面上的半圆周 cos, 0,sinazyax 0绕绕z轴旋转所得轴旋转所得(图图7-49), 故球面方程为故球面方程为 .cos,sinsin,cossin azayax 200 图图7-49 xyzO返回返回三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线C的一般方程为的一般方程为 . 0, 0,zyxGzyxF (5) 现在我们来研究由方程组现在我们来研究由方程组(5)消去变量消去变量z后所得的方程后所得的方程 0, yxH(6) 由于方程由于方程(6)是由方程组是由方程组(5)消去消去z后所得的结果后所得的结果, 因此当因此当x，y和和z满足方程组满足方程组(5)时时, 前两个数前两个数x，y必定满足方程必定满足方程(6), 这说明这说明曲线曲线C上的所有点都在由方程上的所有点都在由方程(6)所表示的曲面上所表示的曲面上. 由上节知道由上节知道, 方程方程(6)表示一个母线平行于表示一个母线平行于z轴的柱面轴的柱面. 0, 0,zyxH所表示的曲线必定包含空间曲线所表示的曲线必定包含空间曲线C在在xOy面上的投影面上的投影.同理同理, 消去方程组消去方程组(5)中的变量中的变量x或变量或变量y, 再分别和再分别和x=0或或y=0联联立立, 我们就可得到包含曲线我们就可得到包含曲线C在在yOz面或面或xOz面上的投影的曲线面上的投影的曲线方程方程: , 0, 0,xzyR或或 . 0, 0,yzxT由上面的讨论可知由上面的讨论可知, 这柱面必定包含曲线这柱面必定包含曲线C. 以曲线以曲线C为准线为准线, 母线平行于母线平行于z轴轴(即垂直于即垂直于xOy面面)的柱面叫做曲线的柱面叫做曲线C关于关于xOy面面的的投影柱面投影柱面, 投影柱面与投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线面的交线叫做空间曲线C在在xOy面面上的上的投影曲线投影曲线, 或简称或简称投影投影. 因此因此,方程方程(6)所表示的柱面必定包所表示的柱面必定包含投影柱面含投影柱面, 而方程而方程例例4 已知两球面的方程为已知两球面的方程为, 1222 zyx(7) 和和 , 111222 zyx(8) 求它们的交线求它们的交线C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程.解解 先求包含交线先求包含交线C而母线平行于而母线平行于z轴的柱面方程轴的柱面方程. 因此要由因此要由方程方程(7), (8)消去消去z, 为此可先从为此可先从(7)式减去式减去(8)式并化简式并化简, 得到得到1 zy再以再以z=1-y代入方程代入方程(7)或或(8)即得所求的柱面方程为即得所求的柱面方程为02222 yyx容易看出容易看出, 这就是交线这就是交线C关于关于xOy面的投影柱面方程面的投影柱面方程, 于是两球于是两球面的交线在面的交线在xOy面上的投影方程是面上的投影方程是 . 0, 02222zyyx在重积分和曲面积分的计算中在重积分和曲面积分的计算中, 往往需要确定一个立体或曲往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影面在坐标面上的投影, 这时要利用投影柱面和投影曲线这时要利用投影柱面和投影曲线.例例5 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 224yxz 和锥面和锥面 223yxz 所围成所围成(图图7-50), 求它在求它在xOy面上的投影面上的投影. 解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 .3,4:2222yxzyxzC由上列方程组消去由上列方程组消去z, 得到得到 122 yx图图7-50 xyzo122 yx这是这是xOy面上的一个圆面上的一个圆, 于是所求立体在于是所求立体在xOy面上的投影面上的投影, 就是该圆在就是该圆在xOy面上所围的部分面上所围的部分: 122 yx. . 0, 122zyx这是一个母线平行于这是一个母线平行于z轴的圆柱面轴的圆柱面, 容易看出容易看出, 这恰好是交线这恰好是交线C关于关于xOy面的投影柱面面的投影柱面, 因此交线因此交线C在在xOy面上的投影曲线为面上的投影曲线为返回返回