平面解析几何中的对称问题

.平面解析几何中的对称问题新林市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些浅薄的探讨，以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。一、点点对称定理1平面上一点关于点的对称点为，特别地，点关于点的对称点为。证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有： ，即 ，故。 例假设点关于点的对称点为，求点的坐标。解：设，由定理有，即。二、点线对称定理1平面上一点关于直线的对称点为：。证明：先证明一般情况，即的情况。Y 如图一,设，线段交直线于点，由点与点关于直线 对称，故为线段的中点且，O * 于是有： 且，又点在直线上，故有： ，解此二元一次方程组得： ，即。至于与的情况比拟简单，证明略。特别地，有如下几种特殊情况：（1） 平面上一点关于轴的对称点为：；（2） 平面上一点关于轴的对称点为：；（3） 平面上一点关于直线的对称点为：；（4） 平面上一点关于直线的对称点为：；5平面上一点关于直线的对称点为：；6 平面上一点关于直线的对称点为：；7 平面上一点关于直线的对称点为：；8 平面上一点关于直线的对称点为：特别地，点关于点的对称点为。假设直线与椭圆有公共点，则有：证明：由 可令，代入得：整理得：即： ，其中为辅助角又 ,即：特别地，当时，有推论1 假设直线与椭圆有公共点，则有： 对于定理1，假设令，则有定理2 假设直线与圆有公共点，则有：，整理得特别地，当时，有推论2 假设直线与圆有公共点，则有：下面略举数例说明其应用。一、 求点到直线的距离例 求点到直线的距离。解：设点到直线的距离为，构造以点为圆心，为半径的动圆，显然，当直线与动圆有公共点时， 点到直线的距离为半径的最小值，即，由定理2知：，即：，故即点到直线的距离为此即平面解析几何中点到直线的距离公式。二、 求最值、函数的值域例 假设且，则的最大值为 A B C D1990年全国高考试题 解：设，得直线，由定理得，解得：、，即，应选D例 求函数的值域。 解：设，代入得：整理得，又关于的直线与关于的圆有公共点。由推论2得：解得：即所求函数的值域为。例 平面上两定点，为圆上任一点，求的最大值与最小值。 解：依题意有又由得，代入得：令，有，即关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得：解得： 故的最大值与最小值分别为。例椭圆，求的最大值。 解：令，整理得关于的直线与椭圆有公共点。由推论得：，解得：故的最大值为。例 加拿大第七届中学生数学竞赛试题试确定最大的实数，使得实数满足： 解：由得：又，代入得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：解得：，即：故最大的实数为。三、 求代数式的围例 假设，且恒成立，求的取值围。 解：由得，设，得直线，由定理得：，解得：，即,即,又，故。例，求的取值围。 解：由可得令，代入得：又令，将，代入得：即关于的直线与关于的圆有公共点，由推论得：解得：，即例假设，且，求的围。 解：令，代入并化简得：，即又令，则有，即关于的直线与关于的圆有公共点，由定理得：，解得即例 设满足方程组 ，假设，试求的取值围。 1986年全国高中数学联赛试题解：由得：，即， 由+得：关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得： 解得：故的取值围为。四、解方程组及证明不等式例：求证：证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得：解得：，即例实数，且，求证。证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：又所以有故，即例且满足，证明都不是负数，也不能大于。1957年市数学竞赛题证明：由得由得，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得：解得：，又，故，同理，所以，都不是负数，也不能大于。例且满足，证明中至少有一个大于。1991年曙光杯数学竞赛题证明：由知中至少有一个为正数，不妨设又由得：由得，代入得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由定理得：解得：，即： 又，由得：，故所以中至少有一个大于。例假设中，三边为，且 试确定的形状。 1989年*杯数学邀请赛试题解：由+得：关于的直线与关于的圆有公共点。由推论得： 解得：，即，代入、得：所以为等腰三角形。例求三个实数使得它们满足方程组解：由可得：由可得：关于的直线与关于的椭圆有公共点。由定理得：化简得：，即，代入、得：故所求三个实数分别为，.