高三数学 复习 第7篇 第3节 空间点、直线、平面的位置关系

第七篇第3节 一 选择题1对于直线m、n和平面，下列命题中的真命题是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么m与n相交解析：对于选项A，n可以与平面相交，对于选项B，n可以与平面平行，故选项A、B均错；由于m，n，则m、n无公共点，又m、n共面，所以mn，选项C正确，选项D错故选C.答案：C2以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2 D3解析：中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故正确；中，若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故错误；中，如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c异面，故错误；中，空间四边形的四条线段不共面，故错误，故选B.答案：B3(20xx重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析：当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案：D4在四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E、F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于()A90 B60C45 D30解析：取SB的中点G，连结GE，GF.则GEGF，且GFSA，则GFE即为异面直线SA与EF所成的角(或其补角)由于FCaSF，故EFSC，且EFa，则GF2GE2EF2，故EFG45.故选C.答案：C5. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl2l3l1 l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：法一在空间垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，即A不正确；根据异面直线所成角的定义可知B正确；三条直线两两平行不一定共面，如三棱柱的三条侧棱两两平行但不共面；三条直线交于一点也不一定共面，如三棱锥的三条侧棱共点但不共面，故选B.法二如图正方体中，l1，l2，l3看作如图A1A，A1B1，B1C1，则A错，看作AB，A1B1，D1C1，则C错，看作A1A，A1B1，A1D1，则D错，故选B.答案：B6设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm解析：对于选项A，由lm及m，可知l与的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故选项A不正确选项B正确对于选项C，由l，m知，l与m的位置关系为平行或异面，故选项C不正确对于选项D，由l，m知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故选项D不正确答案：B二、填空题7(高考四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_解析：如图所示，取CN的中点K，连接MK，则MK为CDN的中位线，所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K，MKDN，A1M6，故A1M2MK2A1K2，即A1MK90.答案：908如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_解析：ABA1B1，B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与A1C1所成的角为30.AA1BB1，BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，B1C1BCa.四边形BB1C1C是正方形，BB1C45.答案：30459如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为_. 解析：折成的四面体是正四面体，如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK.则GKDH，故PGK即为所求的异面直线所成的角(或其补角)设这个正四面体的棱长为2，在PGK中，PG，GK，PK，故cosPGK.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.答案：10三条直线两两垂直，给出下列四个结论：这三条直线必共点；其中必有两条是异面直线；三条直线不可能共面；其中必有两条在同一平面内其中正确结论的序号是_解析：三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个定点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，AB，BC)，故结论不正确，也说明结论不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于用一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，BC和C1D1)，故结论不正确答案：三 解答题11如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K，求证：M、N、K三点共线证明：MPQ，直线PQ平面PQR，MBC，直线BC平面BCD，M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线上同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上又如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，M、N、K三点共线12.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线(2)解：取BC的中点F，连接EF、AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cos AEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.