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第2讲数列的求和问题专题四数列、推理与证明热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.例例1(2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；解答解解an为等差数列，解答思维升华2( 1),nannnba (2)若 求数列bn的前n项和Tn.解解22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，2( 1)nannnba 思维升华思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.132log1().nnban(1)求证：数列bn为等差数列；1312log ( )121(N ),3nnbnn 所以则bn1bn2(n1)12n12.所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列.证明(2)设cnanb2n，求数列cn的前n项和Tn.解答解解由(1)知，b2n4n1，则数列b2n是以3为首项，4为公差的等差数列.热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.例例2(2017河南省夏邑一高模拟)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；解答解解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d，故an3n1，bn2n (nN*).(2)求Tna1b1a2b2anbn的值.解解Tn22522823(3n1)2n， 2Tn222523824(3n1)2n1， ，得Tn2232232332n(3n1)2n13232232332n2(3n1)2n1(43n)2n18，Tn8(3n4)2n1.解答思维升华思维升华思维升华(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列.(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.跟踪演练跟踪演练2(2017江西省赣州市十四县(市)联考)等差数列an的前n项和为Sn，已知a27，a3为整数，且Sn的最大值为S5.(1)求an的通项公式；解答解解由a27，a3为整数知，等差数列an的公差d为整数.又SnS5，故a50，a60，因此d2，数列an的通项公式为an112n(nN*).(2)设bn ，求数列bn的前n项和Tn.解答热点三裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 (其中an为等差数列)等形式的数列求和.例例3(2017届湖南省郴州市质量检测)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，a33，且Snanan1，在等比数列bn中，b12，b3a151.(1)求数列an及bn的通项公式；解答思维升华解解Snanan1，a33，a1a1a2，且(a1a2)a2a33a2，a2，a1a2a33，数列an是等差数列，a1a32a2，即2a2a13，由得a11，a22，ann，2，b14，b316，则bn2n1或bn(2)n1(nN*).思维升华思维升华裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件.解答思维升华思维升华思维升华常用的裂项公式跟踪演练跟踪演练3(2017吉林省吉林市普通高中调研)已知等差数列an的前n和为Sn，公差d0，且a3S542，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式；解答解解设数列an的首项为a1，因为等差数列an的前n和为Sn，a3S542，a1，a4，a13成等比数列.又公差d0，所以a13，d2，所以ana1(n1)d2n1.解答则Tnb1b2b3bn真题押题精练真题体验1.(2017全国)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.答案解析12解析解析设等差数列an的公差为d，则122.(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；12解答解解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.12(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).12解答解解设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n1(3n2)4n18，12押题预测答案解析押题依据押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.121.已知数列an的通项公式为an ，其前n项和为Sn，若存在MZ，满足对任意的nN*，都有Sn0)，且4a3是a1与2a2的等差中项.(1)求an的通项公式；解答押题依据押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.12押题依据解解当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a，当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，12故an是首项a1a，公比为a的等比数列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因为a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，12解答1212所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.
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