数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章

数学分析课后习题答案-高教第二版(陈纪修)-11章 习题? 11.11证明定理 11.1.1 : 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 (a )显然有 ,而且 |xy ?|0| xy ?0x yi1,2,nx y 。 iib 由距离定义直接可得 | xy ?|y?x| 。 c 由于 nn n n22 2 2ft ? a tbt b?2t ab+ a0 , ii iiiiii 11i1i1所以关于上述两次三项式的判别式有 2nnn22ab? a b 0, ii i iii 11i1即 nnn2 2ab a b。 ii i iii 11i1于是 nn n n22 2ab+ b+2 ab+ a ii iiiiii 11 i1i12nnn n nn222 2 22+ba 2 b+a+ab ,?iiii iiii 11i1 i1 ii 11即 n nn2 22ab + +ab 。 ii ii i 1 ii 11令 ax ?y ,by ?z ,则有 ii i i i inn22| xz ? x?za +b ii i iii 111课后答案网 /0.空间上的基本定理 Euclid空间上的极限和连续? 第十一章?Euclidnn22+ab | xy+?|y z| 。 ii ii 11n2证明:若 R 中的点列 x 收敛,则其极限是唯一的。 k证 假设 x 和 y 都是点列 x 的极限,则 0 , k Nk,: N|xx?| , 11 k Nk,: N|xy?| 。 22 k于是当 kN ,N 时,成立 12| xy?|x x|+|x?y|2 , kk由于 是任意正数,所以 x y ,即极限是唯一的。 n3设 R 中的点列 和 x y 收敛,证明:对于任何实数 , ,成立k k等式 lim x + y lim x + lim y 。 k k k kk k k 证 设 x x , y y ,则 0 , lim limk kk k Nk,: N|xx?| , 11 k Nk,: N|yy?| , 22 k于是当 kN ,N 时,成立 12| x+ y ? x+ y| | |xx? |+| |yy? | | | + | | , kk k k所以 lim x + y lim x + lim y 。 k k k kk k k 24求下列 R 中子集的内部、边界与闭包:(1 )S ; x, y | x 0, y 02 2(2 )S x, y | 0 x + y ; 11(3 )S x, y | 0 x 1, y sin 。 x解 1 S x, y x 0, y 0S x, y x 0 或 x 0, y 0; ; S x, y x 0。2 2 2 2 2 2S x, y 0 x + y 1 S x, y x + y 0 或 x + y 1 2 ; ; 2 2S x, y x + y 1 。 1S ? S x, y 0 x 1, y sin 或 x 0, ?1 y 1;? ; 3x 1S x, y 0 x 1, y sin 或 x 0, ?1 y 1? 。x2课后答案网 /.5求下列点集的全部聚点: kk(1 )S ?1 k 1,2, ;k +12k 2k (2 )S cos , sin k 1,2, ;5 52 2 2 2(3 )S x, y | x + y yx +1 。 0解 1 S 1。 S ?2 。 2 2x, y yx +1 0 S3 。n6. 证明定理 11.1.3 : x 是点集S (R 存 的聚点的充分必要条件是: )在S 中的点列 x , 满足x x ( k 1,2, ) ,且 lim x x 。 k k kk 1 1证 设假 必要性: x 是点集S 对于 的聚点, , 在x 的 邻域中任 k k x ,则有 x x 。 取一点x limk kk 充分性:用反证法。假设x 不是点集 S 的聚点,则在x 的某邻域O, x , 0 最多只有 中, S 以所 的有限个点, S O,x ?x 为有限集,于是 d? inf|yx | yS,yx 0 故不存在S , 中满足x x 的点列 x k k以x 为极限,产生矛盾。 2 27设 U 是 R 上的开集,是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 R 中的闭集又如何呢? 解 开集 U 中的每个点 x 所以 一定是它的内点, x 的任意邻域都有 U中的无限个点,所以 x 一定是 U 的聚点。 2由于 S 0,0 是 R 上的闭集,而 S 只有一个点,所以无聚点,即闭集中的点不一定是它的聚点。 n 8证明 SR 的所有内点组成的点集 S 必是开集。 证 假设 x S ,则 ? 0 , O,x ?S 。而 ?y O, x ,由于o以 也是 S 从而 的内点, O,x ?S 是O,yy | x|?Ox, yS 必是开集。 n9. 证明 S 的闭包R S S S 必是闭集。 c证 假设 x S 则 , xS 且 , x 不是 S 于是在 的聚点, x 的某邻域 O, x 中至多只有 S 的有限项,故存在 x 的邻域 O, x 不含 S 的点,即13课后答案网 /.,于 ,所c cO, x S ,从而 S 为开集,所以 S 必是闭集。 1n10. 设 E, FR E 为开集, F 证明: 为闭集, E F F E 为闭集。 c c证 由于 所以 为闭集, 而 为开集, F F EF EF 由于 也是开集。 , Ec c为开集,所以 E 为闭集,从而 FE F E 也是闭集。 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 证 假设 S 是非空闭集序列,满足 kSS ?S?S, 12 kk +1以及 limdiam 0 S 取 x S 当 m, nk 时, xx, S 而成k k k mn kk 立 xx? diam S 是 x 设其极限为 从而收敛, 是基本序列, x 。mn kk对于任意 k ,当 mk 时, x S ,所以 x 的极限 x SS ,于是m k k k k x S ,所以 非空。 S k kk 1 k 1再证唯一性。假设 y S ,则 xy ? diam S 0 ( k ,所以 ) k kk 1xy 。 12. 举例说明:满足 lim xx 0 的点列 x 不一定收敛。 kk +1 kk k k11 1解 x ,则 limxx ? lim 0 ,而 | x | ,所以k R k +kk +1 kk k +1i ii 1 i 1x 不收敛。 kn13. 设 E, FR 为紧集,证明 E F 和 E 为紧集。 F n证 因为 E, FR 为紧集, 所以 EF , 为有界闭集, 于是可知 和 E F E F也都是有界闭集,即紧集。4课后答案网 /.,于,从 ,则 。任为开集, 。若?114. 用定义证明点集 0 k 1,2, 是 R 中的紧集。k1证 假定 U 为点集 S0 k 1,2, 的任一开覆盖。设 0 U ,? 0k?1 1 11?则 ? 0:O0, ?U , 于是当 k 时, U 对于 。 k 0,1, , , 0 0 k k 11存在 U 中 U ,使得 Uk,0,1, , 。于是 k kk 1?UU,0 k,1, , 构成 S 的有限开覆盖,所以 S 为紧集。 ?0 kn15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明: R 上有界无限点集必有聚点。 n证 假定 S 为 R 上有界无限点集,则由习题 9 , S S S 必是闭集。如果 S 无聚点,即 S ? ,则 S 为 SS ,即 S 为有界闭集,从而由nHeine-Borel 定理知 S 为 R 上的紧集。 xS 由于 , x 不是 S 的聚点, 存在 Ox, 只含有 S 中有限个点。x显然 O x, | x S 构成为 S 的一个开覆盖, 但由于其中有限个 O x, x x只能包含 S 因而不存在 中有限个点, S 所以 矛盾! 的有限开覆盖, S必有聚点。5课后答案网 /.习题?1 1.2?多元连续函数1确定下列函数的自然定义域:?x 1 1 1(1) ;(2) u + + ;?u lnyx +2 2x y z1xy2 2 2 2 2 2 2 2(3) u Rxyz + x + y + zr R r ;?z(4) u arcsin 。?2 2x + y2 2解 1 D x, y x + y 1, y x 。 2 D x, y, z x 0, y 0, z 0 。 2 2 2 2 23 D x, y, z r x + y + z R 。 2 2 2 24 D x, y, z z x + y , x + y 0 。 3y x?2.?设 f x 0 ,求 。? f x?2 2 3 / 2x x + y ?解 因为 3yx 1f ,?223/2 3xx +y 22?y1 +?x所以1f x 。?3221 + x 3. 若函数?zx, y y + f x ?1,?且当 时 y 4 ,求z x + 和 1 。? f x zx, y解 由 z,xf 4+ 4 x?1x+1 ,可得?2fx1 ? x?11 x? +1 ?1 ,?所以 22fxx + 1?1x+2x,zx, y x + y ?1 。 4. 讨论下列函数当 x, y 趋于 0,0 时的极限是否存在:1课后答案网 /.xy xy(1) f x, y ?( ;? 2) ;?f x, y 2 2x + y x + y23 31, 0 y x , x y(3) f x, y ? (4) f x, y 。4 8x + y0 其它点 ;xkx 1 k解 (1 于 fx ,kx 依赖于 k 当以 x, y 趋于 时函 0,0x+ kx 1 k数极限不存在。 2kx k(2 ) fx ,kx 依赖于 k ,所以当 趋于 时函数x, y 0,022 2x+ kx 1 k极限不存在。 2 2x x( 3 )由于 fx , 1 ,所以当 x, y 沿曲线 y 趋于 0,0 时,函数极2 2限为 1,而当 x, y 沿 x 轴趋于 0,0 时,函数极限为 0,所以当 x, y 趋于 0,0 时函数极限不存在。 (4 )利用平均值不等式 1 14 4 8x + x + y4 8x + y 12 2 8 83 x y , 3 3 4可得 13333 3| xy 4|xy| 43| f xy, | |xy| 0,xy , 0,0 ,?48 8xy + 333| xy所以当 趋于 时函数极限存在且为 0。 x, y 0,05. 局部保序性和局部 局部有界性, 对多元函数证明极限唯一性,夹逼性。?证 ?(1)假设 lim f xA,? lim f x B,则 0 , x x x x0 0? 0,?xx 0| ?x | :|fA x| , 101? 0,?xx 0| ?x | :|fB x| 。 202取 min , 0 ,当 0|? xx | ,成立 12 0|AB|? |fxx A|+|f ?B|2 , 由于 为任意正数,所以 AB ,即极限唯一。 lim(2 )假设 f xA ,则对于 1 , x x02课后答案网 /.,所 )由? 0,?xx 0| ?x | :|fA x| 1 , 0即 |fA x| | | +1 。 所以 f x 在 x 点的某个去心领域有界。 0AB3 设 lim f xA lim g xB,则对于 0 ,?x x x x0 0 2? 0,?xx 0| ?x | :|fA x| , 101即 A + BfA x ? 。 2又 0,?xx 0| ?x | :|gB x| , 202即 A + BgB x + 2取 min , 0 ,当 0|? xx | ,成立局部保序性:?12 0AB +gf x x 。 24 假定存在 0 ,使当 0|?xx | 时成立 0gf xx hx , 且 lim g x lim h xA 。 x x x x0 0? 0 , 由 lim h xA , x x0? 0,?xx 0| ?x | :|hA x| , 101所以 hA x + 。 又由 lim g x A , x x0? 0,?xx 0| ?x | :|gA x| , 202所以 gA x ? 。 取 ,当 0| xx?| ,成立 min , , 012 0Ag ? xx fhx A+ , lim即 f xA 。?x x06. 对多元函数证明极限的四则运算法则:假设当 x 趋于 x 时函0数 f x 和 g x 的极限存在,则?(1) lim f x g x lim f x lim g x ;x x x x x x0 0 03课后答案网 /.lim lim lim (2) f x ?g x f x? g x ; x x x x x x0 0 0lim lim lim lim (3) f x /g x f x / g x ( g x 0 。 )x x x x x x x x0 0 0 0证 假设 lim f xA , lim g xB 。则对任意 0 ,?x x x x0 0? 0,?xx 0| ?x | :|fA x| , 101? 0,?xx 0| ?x | :|gB x| , 202取 min , 0 ,当 0|? xx | ,成立 12 0|fg xx? AB|fx?A|+|gx?B|2 , 所以(1 )成立。 由于 g x 在 x 有极限,所以 g x 在 x 局部有界,即存在正数 X0 0和 0 , ?x 0? |xx | :|g x| X 。取 min , , 0 ,当0 120|? xx | ,成立 0|fg xx? AB| |fg xx?Agx|+|Agx?AB| +| X A| , 所以(2 )成立。? B由于 B 0 , ? 0 ,0 , ?xx 0? | x | :? 02| B|gB x|? | | 。 2取 min , , 0 ,当 0| xx?| ,成立 12 0fxx ABf ?A A gx?B? gB xxBg2|AB +| , 2| B所以(3 )成立。 7. 求下列各极限:?2 21xy 1 + x + y(1) lim ;?(2) lim ;?2 2 2 2x, y 0,1 x, y 0,0x + y x + y2 21 + xy ?1x + y(3) lim ;?(4) lim ;?x, y 0,0 x, y 0,0 2 2xy1 + x + y ?122 y 3 3sinx + y lnx + e (5) lim ;?(6) lim ;?2 2 2 2x, y 0,0 x, y 0,0x + y x + y2 21cosx + y 2 2 ? x + y(7) lim ;? (8) lim x + y e 。?2 2 2 2x +x, y 0,0x + y x yy +lim 1xy1xy, xy 0,1解 (1 ) lim 1 。 22 2 2, xy 0,1xy+ lim xy , xy 0,14课后答案网 /.22 22(2 ) lim xy + + 0, lim 1 xy+ 1 ,所以?, xy 0,0 , xy 0,02 21 + x + ylim + 。 2 2x, y 0,0x + y11 +? xy 1 1(3 ) lim lim 。 xy, 0,0 xy, 0,0xy 211 + xy +22xy +22(4 ) lim + lim 1 xy+1 2 。 xy, 0,0 22 x,y0,011 +xy2222yy 2222222(5 ) lnx+ex ln1+ +e?1x+y+oy x+y+ox+y , 所以 22 ylnxe + lim 1 。 22, xy 0,0xy +3 3 3 3 22 22(6 ) |sinx+yx |+y |x+ y|x y?xy| 2|x+ y|x y | , 所以 3 3sinx + y lim 0 。 2 2x, y 0,0x + y(7 )因为 122 2 22 1?+ cos xy ? xy+ x,y0,0 , 21222xy +1 12 , lim + ,?22 22, xy 0,0x +yxy|xy| xy所以 1222xy +221c?+ osxy2lim lim + 。 22 22 22 22, xy 0,0 , xy 0,0xy + xy x +yxy22 ?+xy 2 ?x ?y 2 ?y ?x(8 )? 。 lim xy+ e lim xe e+ lim ye e 0?xx + + x +yy + + y +8. 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限:5课后答案网 /.2 2x y(1) ;?f x, y 2 2 2x y + xy2 2 2 2x 1 + x y 1 + y (2) f x, y ;?2 2x + y1 1(3) f x, y xsin + y sin 。?y x解 1 由于 42xk 1 +x 1lim fx ,y lim ,?42 24 2xx 00x 1 + kx+ k x 1 k2yx +kx所以二重极限不存在。?0由? limfx ,y 0, y 0 ,可知? lim limfx ,y 0 。同理可知?2x 0 yx 00ylim limfx ,y 0 。所以二次极限存在且都等于 0 。?xy 00(2 )由于 2 2 22 22 2x 1+? xk x 1+kx 1?klimfx ,y lim ,?22 2xx 00x 1 +kk 1 +yk x所以二重极限不存在。又?2 lim limfx ,y ? lim1+y ?1 , yx 00 y02 limlimfx ,y+ lim1 x 1 。?xy 00 x0所以二次极限都存在但不相等。?(3 )由于 |fx,y|+ |x|y ,所以 limfx ,y 0 。 x 0y 01 1由于 limyy sin 0 和 limxx sin 0 所以两个二次 都不存在,x 0 y 0x y极限都不存在。 9.?验证函数6课后答案网 /.?2 1 1?2 2 2yx , x 0 且 x y x , 2x 2 212 2 2f x, y 2xy, x 0 且 x y 2x ,?2x0,在原点不连续,而在其它点连续。?212 22 2证 ?设 x 0 , fx ,x xx1 ,所以当点 , x y 沿 yx0 x 趋2x 2于原点时函数 fx ,y 的极限为 1 ,而当点 , x y 沿 x 轴趋于原点时函数fx ,y 的极限为 0 ,所以函数 fx ,y 在原点不连续。?对于函数 fx ,y 在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线?122 2yx, y xy2x ?0 x 2上的情况(因为在除去上述曲线和原 点的区域上函数显然连续) 。?12设 x 。在 0 , xyx ,x 点,由于?0 00 0 02122yx2lim f xy , lim 0 f x ,y ,?2 00, xy x ,y , xy x ,y 00 00x2yx /2lim fx ,y 0 f,xy ,?00, xy x ,y 002yx /212所以函数 fx ,y 在 ,xy , x x 连续。同理可知函数 fx ,y 在00 0022,xy , x 2x 也连续。?00 002在 ,xy , x x 点,由于?00 002 222xy2xx00lim fx ,y lim 1 f,xy ,?22 00x,y, xy x,y, xy00 0 0xx22 02xy x1122 22yx 2x x 0022lim fx ,y lim 1 f,xy ,?0022xy, , x y xy, , x y00 00xx22 0xy /2x2所以函数 在 fx ,y ,xy , x x 也连续。?00 00综上所述,函数 fx ,y 除了在原点不连续,在其它点都连续。?10.?讨论 函数?2x y2 2, x + y 0,2 2f x, y ? x + y2 20, x + y 0的连续范围。7课后答案网 /.其它点22解显然函数 fx ,y 在区域 ,xy x +y 0 上连续, 所以只要考虑函1222数 fx ,y 在原点的连续性。由 | xyx+ |x y ,得到?22xy 1 x| ,?22xy + 2所以?2xylim f xy , lim 0 ,?22, xy 0,0 , xy 0,0xy +即函数在原点也连续。因此函数 fx ,y 在平面上点点连续。?11.设 f t 在区间 a,b 上具有连续导数, D a,b a,b 。定义 D 上的函数?f xf y, x y,Fx, y xyf x, x y证明:对于任何 成立?c a,blim Fx, y f c。?x, y c, c证 ?由题设, 利用 Lagrange 中值定理 fx ?fy? f x y 其中 , 介于 和 x 之间。所以 ylim Fx ,y lim f f c ,?, x y cc, , x y cc, xy lim Fx ,y lim f x f c,?, xy c,c x cxy 综合上面两式可得lim Fx, y f c 。x, y c, c212 .设二元函数 在开集 f x, y DR 内对于变量 x 是连续的,对于变量 y 满足 Lipschitz ?条件:?| f x, y f x, y | L | yy | ,?其中 x, y , x, y D , L 为常数(通常称为 Lipschitz 常数) 。证明f x, y 在 D 内连续。?证 ?假设 ,xy D ,由于函数对于变量 x 是连续, ? 0 ,00? 0,?xx | ?x | ,成立?0f,xy ?fx,y 。?0008课后答案网 /.当 ,xy? x,y min , 时?00f x, yf x , y f x, yf x, y + f,xy ?fx,y 0 0 0 000? Ly y+ f,xy ?fx,y 0 000+ L , 所以 f 在x, y , x y 内连续,证毕。?0013 .证明:若 f 和 g 是 D 上的连续映射,则映射 f + g 与函数 在 D 上都是连续的。 0证 ?假设 x D ,由 f 和 g 是连续, ,?0? 0,?xx | ?x | ,成立 |fx ?fx | ,?0 0? 0,?xx | ?x | ,成立 | gx ?gx | ,?1 01 0于是?|fx +gx?+ fx gx|00 2 ? | f x f x |+| gx? gx | ,?00所以映射 f + g 在 x 连续。又?0| fx,gx?fx ,gx|00|fx ?fx ,gx + fx ,gx ?gx |00 0+ | gx| | fx| ,?0由于 g 所 以 连续, g 于是 从而都局部有界, 的每个分量都连续, g 也局部有界。根据上式,在 x 连续,证毕。?014.?证明 复合映射的连续性定理(定理 11.2.3) 。?证 ?假设 g 在 D 上连续, f 在并且 上连续, xu D, gx? f00 0在 u 上连续,? 0, 0,?uu | ?u | 成立 0 09课后答案网 /.。由| fu ?fu | 。 0对于上述 0 ,由 g 在 连续知 x? 0, xx | ?x | 成立 0 0| gx ?gx | 。 0于是,当 | xx? 时, 0|f gx? f gx | |fu ?fu | , 00所以复合函数 f g 在 连续。 x010课后答案网 /.习?题11.3?连续函数的性质n m1 . 设DR , f : D R 为连续映射。如果 D中的点列 x 满足klimx a ,且 a D ,证明 kk lim f x f a 。 kk f a ,成立 证 由 在 连续, ? 0,? 0,?xx | ?a | |fx ?fa| 。?又由于 lim ,对于上述 x a 0 ,存在 K ,当 kK 时成立 kk | xa ,?k于是当 时成立 kK |fx ?fa| 。?k所以?lim f x f a 。 kk n2 . 设 是 R 上的连续函数, c 为实数。设 fn nA x R | f x c , B x R | f x 。 cc cn n证明A 为 R 上的开集, B 为 R 上的闭集。 c c证 对于任意 x A ,由于 在 连续,取 f x cf x 0 ,则 ? 0 ,c0 0 0 xx | x | ,成立 0|ffxx ? | c?fx ,?00n即有 f x ,所以 c x A 。这说明 A 为 R 上的开集。?ccn n?由 f 在 R 上连续可知 也在 ?f R 上连续,于是 cn nBR xx | fcf xR|? x?c cn n为 R 上的开集,所以 B 为 R 上的闭集。?c3 . 设二元函数 1f x,y , x,y D 0,1 0,1 , 1 ?xy证明: 在 f D 上连续,但不一致连续。 证 由于 在 f D 上是初等函数,所以连续。但因为当 n + 时, 11 111,1 1,1? 0 , 22nn nn而 11 11f 1,1 ? f 1,1 22nn nn91课后答案网 /.22 24 nn 4n ?3n? + , 41nn 21 41n?21n?所以 在 D 上不一致连续。 fn n4 . 设 A 为 R 上的非空子集,定义 R 上的函数 为 ff x inf | xy| y A 。 它称为 x 到 A 的距离。证明:1 当且仅当 x A 时, f x 0 ; n 2 对于任意 x ,x R ,不等式 f x f x | xx | n 成立,从而 f 在 R 上一致连续; n(3 )若 A 是紧集,则对于任意 c 0 ,点集 x R | f x 是紧c集。 证 (1 )假定 x A ,则存在A 中的点列 x ,满足 lim ,即x xkkk lim|x ?x| 0 所以 , 由 反之, f 。 x 0 f x 0 可知存在 A 中的点列 x ,kkk 满足 lim|x ?x| 0 ,即 limx x ,所以 x A 。 k kk k (2 )不妨假设 ff xx 。首先对于任意的 k ,存在 ,满足 xA k1 fxx? | x|? , kk再利用 f x | x ?x | , k两式相减,得到 110?ff x x|xx? |?|x?x|?|xx?|+, kkkk令 k ,即得到 f x f x | xx | 。 n由上式即可知 f 在 R 上一致连续。 n n(3 2 f 在 R 再由习题 上连续, 2 知点集 Bx R | f x c 由于 是闭集。 A 所以 是紧集, A 即 有界, ?M ,?xA立 | x M 。?yB ,取 xA ,使得 。 fyy ? | x|?1于是 | y|? y x|+|x|fM y+1+ c+1+M , 即 B 也有界。所以 B 为有界闭集,也就是紧集。 25 . 设二元函数 f 在 R 上连续。证明: 2(1 ) 若 lim f x,y + ,则 在 f R 上的最小值必定存在; 2 2x +y +92课后答案网 /.,成)知 )由(2(2 ) 若 lim f x,y 0 ,则 在 f R 上的最大值与最小值至少存在2 2x +y +一个。 证 (1 )任取一点 x ,y ,由 lim f x,y + ,可知存在 ,当 R 00 02 2x +y +2 2 2 2 2 2x + y R 成立 , f x,y f x ,y 。 f x, 在紧集y x,y x + y R 上0 02必定取到最小值,且此最小值就是它在 R 上的最小值。 (2 )如果 fx ,y 0 ,则命题显然成立。不然的话,任取 x ,y ,使0 0得函数值在此点非零。 2 2 2若 f x ,y 由 , 0 lim f x,y 0 可知存在 , 当 , R , 0x + y R0 02 2x +y +2 2 2成立 f x,y f x ,y ,则 f 在紧集x,y x,y x + y R 上必定取到0 02最大值,且此最大值就是它在 R 上的最大值。 2 2 2若 f x ,y 0 由 , lim f x,y 0 可知存在 , 当 , R , 0 x + y R0 02 2x +y +2 2 2成立 f x,y f x ,y ,则 f 在紧集x,y x,y x + y R 上必定取到0 02最小值,且此最小值就是它在 R 上的最小值。 n6 .设 是 f R 上的连续函数,满足 1 当 x 时成立 0 ; f x 02 对于任意 与 ,成立 x c 0 。 f cx cf x证明:存在 a 0,b 0 ,使得 a | x | f x 。 b | x |n证 单位球面是 R 上的紧集,设 在单位球面上的最小值和最大值分 f别为 和 ,则有 a b0 af xb+ ,| x1 。 x于是 ? ,由于x 0 1 ,所以 xxf xxx fb ,?xn同理 fx ax 。由于当 x 0 时不等式显然成立,所以 ?x R ,成立?a | x | f x 。 b | x |n m n7 .设 f : R R 为连续映射。证明对于 R 中的任意子集 A ,成立 f Af A 。 举例说明 f A 能够是 f A 的真子集。 证?xA在 A中的点列 x 足 limx x 由于映射 , 在 连 f xkkk 续, , lim f xf limxf xkkkk 所以 fxf A ,即 f Af A 。93课后答案网 /.,满 ,存22xy 2 2取 n2 , fx ,y e 在 R 上连续。令 A R ,则 AA ,但 f A xx| 0 , f A xx| 0 , f A 是 f A 的真子集。 28 .设 f 是有界开区域 DR 上的一致连续函数。证明: ( 1 )可以将 连续延拓到 的边界上,即存在定义在 f D D 上的连续 函数 ,使得 f f f ; D(2 ) 在 f 上有界。 D 2证 (1 )由于 f 在 DR 上的一致连续,? 0, 0 , ? xx , D |xx ? | : |ffxx | 。 设?D ,任取点列 x x D , x , 由于 x 为 Cauchy 点n n n n列,对于上述 0 , ?K ,当 时,成立 |xx ?| ,于是mn , Kmn|ffxx | , mn所以 f x 是基本数列,故一定收敛。记该极限为 g。 n在 |ffxx ? | 中令 m ,得到 mn|fg x ?| 。 n对于 ?xx D,| | /2 ,存在点列 x 中某项 ,满足 xn k|xx ? /2,|fg ? | 。 kk于是 |x? x| |x? +|x? | , kk|fgxx |? |f fx|+|fx?g | 2 , kk所以limfg x , x xD 由此可知 f x 的极限 g 只与 ?D 有关,而与点列 x 的选取无n n94课后答案网 /.