【方法指导】“等差数列”学法指津

金太阳新课标资源网 “等差数列”学法指津摘要：等差数列是数列中最重要的数列之一，也是最基础的数列，同时它也是高考中的一项重要内容，并且它的很多研究方法很值得我们推广到其它数列。本文中，笔者对等差数列的相关知识进行了深入的讲述并加入适当的深化拓展。关键词：等差数列 一、知识精讲1.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做该等差数列的公差，我们通常用字母表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数），那么为等差数列。2.当等差数列的公差时。该等差数列为常数列。3.等差数列的通项公式：，对于等差数列的通项公式，我们有以下结论：；（）。4.等差数列的增减性：当时，等差数列为递减数列；当时，等差数列为递增数列5.如果在数和中间插入一个数，使得、三数成等差数列，那么我们就称数为数和的等差中项，且。6.等差数列的前项和公式设数列是公差为的等差数列，那么该数列的前项和7.等差数列的主要性质（1）在等差数列中，若，则；（2）在等差数列中，若，则；（3）对于等差数列，若数列是等差数列，则数列也是等差数列；（4）若数列和都是等差数列，则对任意实数、，数列也是等差数列；（5）若数列是等差数列，则对任意实数，数列也是等差数列；（6）若是等差数列的前项和，则是等差数列；（7）若是等差数列的前项和，则、成等差数列；（8）若等差数列的项数为偶数、所有奇数项之和为、所有偶数项之和为，则所有项之和、；（9）若等差数列的项数为奇数、所有奇数项之和为、所有偶数项之和为，则所有项之和、；（10）若、（），则；（11）若、（），则。二、方法指引1.等差数列的证明：证明存在实数、，使得；证明存在实数、，使得；证明为常数；证明；2.在适当的时候注意灵活运用等差数列的常见性质辅助解题；3.三数成等差数列，一般可设为、；四数成等差数列，一般可设为、；五数成等差数列，一般可设为、；4. 在等差数列中，若，则有最大值，我们一般有两种求解思路:将配方成关于的二次函数进行讨论，注意此时只能取正整数；由求解。三、例题评析例1 已知数列的前项和为，且（），求证：数列为等差数列。证明： ，即，知，时数列为等差数列。（）。而当时也满足上式，故时，数列为等差数列。例2 设等差数列的前项和为，已知，。（1）求公差的取值范围；（2）指出、中哪一个值最大，并说明理由。解：（1）而，得故公差的取值范围为。（2）， ，当最小时最大。而，时，最大。最大。例3 等差数列的项数为，若，且，求该数列的公差。解：数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，而，由解得，公差四、同步训练1.已知数列的前n项和，第项满足，则 2.等差数列的首项，它的前项的平均值为，若从中抽去一项，余下的项的平均值为，则抽去的是（ ） 3. 等差数列的前项和为，若，则的值是（ ） 无法确定3.已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ） 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） 5. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ） 6. 已知函数,等差数列的公差为.若,则 。7.若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项。8.在等差数列中，已知公差，且，则 。9.等差数列、的前项和分别为、，若，则 。10.已知元素为正整数的数集序列、，从第二个数集开始，每一个数集比前一个数集多一个元素，且每一个数集中最小的元素比前一个数集中最大的元素大，则第个数集中所有元素之和 。11.设，方程有唯一解，且，问：（1）数列是否等差数列；（2）求的值。12.已知数列为等差数列，其前项和为，。（1）求数列的通项公式；（2）设、为正整数，且，证明：。13. 已知为等差数列，公差（），且（）（1）求证 当取不同自然数时，此方程有公共根；（2）若方程不同的根依次为，求证 数列为等差数列。【同步训练参考答案】1. 解析：时， 由得，从而。2. 解析：，抽去的那个数是，该数在原数列中的项数，即抽去的数是。3. 解析：。4. 解析：、成等差数列，从而。 5. 解析：，当、时，为整数，故使得 为整数的正整数的个数是。 6.解析：，。7. ，3 解析：时，而当时也满足此式，因而。，数值最小的项是第项。8.解析：。9. 解析：。 10. 解析：第个数集的元素个数为，前个数集所有元素之和为，那么第个数集中的最小元素为，。11.解：（1）对于方程即，显然为其解，然而方程有唯一解，那么其令一解，。，即，对式子左右两边取倒数并整理得，数列 是公差为等差数列。（2），从而，即，当时也满足此式，故，。12.解：（1）依题意有，解得，。 （2）等差数列的前项和，。13.解：（1）证明是等差数列，故方程可变为，当取不同自然数时，方程有一个公共根。(2）方程的非公共根为，是等差数列。第 8 页 共 8 页 金太阳新课标资源网