2014年广州市一模（文科数学）

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2014.3参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数的定义域为A B C D2已知是虚数单位，若，则实数的值为A B C D3在中，角，所对的边分别为，若，则为A B C D4圆关于直线对称的圆的方程为A BC D5已知，则函数的最小值为A B0 C1 D2xOyxOxOxOyyyDCB6函数的图象大致是A 7已知非空集合和，规定，那么等于A B C D8任取实数，则，满足的概率为A B C D9设，是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是A B C D10在数列中，已知，记为数列的前项和，则A1006 B1007 C1008 D1009二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11执行如图1的程序框图，若输入，则输出的值为_图1开始结束输入否是输出12一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是_11正（主）视图侧（左）视图图2俯视图452213由空间向量，构成的向量集合，则向量的模的最小值为_ （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线相交于，两点，若PEABCD图3O，则实数的值为_15（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的切线，切点为，直线与圆交于， 两点，的平分线分别交弦，于，两点，已知，则的值为_ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期（1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率；（2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率17（本小题满分12分）已知函数的图象经过点（1）求实数的值；（2）求函数的最小正周期与单调递增区间图418（本小题满分14分）如图4，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足（1）求证：；（2）在棱上确定一点，使，四点共面，并求此时的长；（3）求几何体的体积19（本小题满分14分） 已知等差数列的首项为10，公差为2，数列满足，（1）求数列与的通项公式；（2）记，求数列的前项和（注：表示与的最大值）20（本小题满分14分） 已知函数（1）求函数的极值；（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由21（本小题满分14分）已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题，满分50分题号12345678910答案CABACABDBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题题号1112131415答案74或三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件包含4种情形则所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为，则表示第一瓶抽到的是，第二瓶抽到的是，则是一个基本事件由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：，共30种基本事件由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件包含的基本事件有：，共18种基本事件则所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为，则是一个基本事件由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：，共15种基本事件由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件包含的基本事件有：，共9种基本事件则所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为17（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数的图象经过点，所以即即解得（2）由（1）得，所以函数的最小正周期为因为函数的单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增所以函数的单调递增区间为18（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：连结，因为四边形是正方形，所以在正方体中，平面，平面，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以（2）解：取的中点，连结，则在平面中，过点作，则连结，则，四点共面因为，所以故当时，四点共面（3）解：因为四边形是直角梯形，所以几何体为四棱锥因为，点到平面的距离为，所以故几何体的体积为19（本小题满分） （本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列的首项为10，公差为2，所以，即所以（2）由（1）知 ，因为，所以当时，当时，所以当时， 当时， 综上可知，20（本小题满分） （本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为，所以令，可得或则在上的变化情况为：13+00+增函数1减函数增函数所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为（2）假设函数在上存在“域同区间”，由（1）知函数在上单调递增所以即也就是方程有两个大于3的相异实根设，则令，解得，当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增因为，所以函数在区间上只有一个零点这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立所以函数在上不存在“域同区间”21（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设双曲线的半焦距为，由题意可得解得 （2）证明：由（1）可知，直线，点设点,，因为，所以所以因为点在双曲线上，所以，即所以所以直线与直线的斜率之积是定值（3）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，由（2）知，设，则即整理，得由，得将，代入，得 将代入，得所以点恒在定直线上证法2：依题意，直线的斜率存在设直线的方程为，由消去得因为直线与双曲线的右支交于不同两点，则有设点，由，得整理得将代入上式得整理得 因为点在直线上，所以 联立消去得所以点恒在定直线上（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或的范围）