正弦定理、余弦定理和解斜三角形

第五章三角比5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理正弦定理三角形中，三角形中，sinsinsinabcABCAabcCB三角形面积公式三角形面积公式三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半111sinsinsin222abCbcAacBS 各边与它对角的正弦的比相等各边与它对角的正弦的比相等例例1. .在在 中，中， ABC10,130 ,30cAB求求 和该三角形的面积和该三角形的面积. .ABC解：解：1801303020CsinsincAaC10sin130sin2022同理：同理：sinsincBbC10sin30sin20151sin2SacB56解毕解毕, a b (结果保留至个位数结果保留至个位数)例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边根据下列条件，求三角形的其余角和边.(1)14,7 6,60abB(2)2 32,453abB解解:(1)sinsinaBAb或或22135A45180 ,45ABA,18075CABsinsinbCcB(结果精确到结果精确到0.01)7 6 sin7519.12sin60例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边根据下列条件，求三角形的其余角和边.(2)2 32,453abB解解:(2)sinsinaBAb或或32120A60sinsinbCcB(结果精确到结果精确到0.01)1.58当当 时，时，60 ,75ACsinsinbCcB0.42当当 时，时，120 ,15AC解毕解毕一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用正弦定理利用正弦定理(I)已知两角及任一边，求其他角和边；已知两角及任一边，求其他角和边；(II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.解三角形解三角形三角形的元素，三角形的元素，元素的过程叫做元素的过程叫做解三角形解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：可以解决以下两类解三角形问题：sinsinsinabcABC已知三角形的几个元素求其他已知三角形的几个元素求其他课堂练习课堂练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)1(1)45 ,30 ,10ACccm(2)60 ,45 ,20ABccm2.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)1(1)20,11,30acm bcm B(2)54,39,115ccm bcm C3.在在 中，已知中，已知coscoscosabcABCABC试判断试判断 的形状的形状.ABC课堂练习答案课堂练习答案1.(1)14,105 ,19acm Bbcm(2)75 ,18,15Cacm bcm2.(1)65 ,85 ,22ACccm(2)41 ,24 ,24BAacm或或115 ,35 ,13ACccm3.等边三角形等边三角形第五章三角比5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形余弦定理余弦定理三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去2222coscababCAabcCB这两边与它们夹角的余弦的积的两倍这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB另一种形式：另一种形式：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab例例1. .在在 中，中， 求求 .ABC60,34,41bcA( (角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1)1)解：解：2260342 60 34 cos41 2222cosabcbcA41a1676.78222cos2abcCab33C0.84解毕解毕1, ,a C B221676.7860342 1676.78 60180()180(41 33 )BAC106例例2.在在 中，已知中，已知 ，求各，求各解解:120C36.6A角及其面积角及其面积(精确到精确到0.1)ABC3,2,19abc222cos2abcCab22232( 19)2 3 2 12 同理，得同理，得222cos0.5962bcaAbc180()180(12036.6 )BAC23.41sin2SabC133 22.622 解毕解毕课堂练习课堂练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)1(1)5,2,60bcm ccm A(2)10,24,26abc3.已知已知 中，中， ，求，求ABC8,7,60abBc2.已知三角形三边之比为已知三角形三边之比为 ，求最大内角，求最大内角.3:5:74.在在 中，中， 是锐角，求证：是锐角，求证：CABC222abc课堂练习答案课堂练习答案1.(1)4,97 ,23acm BC(2)23 ,67 ,90ABC2.1203.解：解：2222cosabcbcA28150cc解得解得123,5cc4.证：证：2222cos0abcabC222abc证毕证毕一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用余弦定理及其变形利用余弦定理及其变形(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；已知两边及夹角，求夹角的对边；(II)已知三边，求角已知三边，求角.解三角形解三角形三角形的元素，三角形的元素，元素的过程叫做元素的过程叫做解三角形解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的几个元素求其他已知三角形的几个元素求其他(III)已知两边及一边的对角，求边已知两边及一边的对角，求边.第五章三角比5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形扩充的扩充的正弦定理正弦定理一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长sinsinsinabcABCACB2RDAD 2sinsinsin90aaDCRAD证：证：a(同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等)90DBC(半圆弧所对圆周角为直角半圆弧所对圆周角为直角)证毕证毕O例例1.在在 中，中， ，判断，判断ABCcoscosaAbBABC的形状的形状.解：根据正弦定理得解：根据正弦定理得2 sin,2 sinaRA bRB代入条件并化简得代入条件并化简得sincossincosAABB即即sin2sin2AB2 ,2(0, )AB22AB或者或者22AB得得 或或AB2AB所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.ABC解毕解毕例例1.在在 中，中， ，判断，判断ABCcoscosaAbBABC的形状的形状.解法二：根据余弦定理得解法二：根据余弦定理得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入条件并化简得代入条件并化简得2222222()()()cababab所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.ABC解得解得 或或ab222cab解毕解毕例例2.若锐角若锐角 的三边长分别是的三边长分别是 ，,1,2a aaaABC试确定试确定 的取值范围的取值范围.解：解：0(1)2aaaa由两边之和大于第三边，由两边之和大于第三边，解得解得1a 由由最大角最大角为锐角，得为锐角，得222(1)(2)02 (1)aaaa a解得解得3a 综上，当综上，当 时，边长满足条件时，边长满足条件.3a 解毕解毕课堂练习课堂练习1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.5,12,132.三角形满足三角形满足 ，判定其形状，判定其形状.coscosaBbA3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数数.(精确到精确到 )4.在在 中，求证：中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA5,12,131课堂练习答案课堂练习答案解：解：132sin90R 1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.5,12,135,12,13得得132R 2.三角形满足三角形满足 ，判定其形状，判定其形状.coscosaBbA解：解：2 sincos2 sincosRABRBAsin()0AB得得(, )AB 0AB该三角形为等腰三角形该三角形为等腰三角形. 解毕解毕解毕解毕课堂练习答案课堂练习答案3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数数.(精确到精确到 )1解：设边长为解：设边长为,1,2,a aaaZ1(1)2aaaa且且222(1)(2)02 (1)aaaa a化简得化简得11aa13a 且且因此因此2a 最大角余弦值为最大角余弦值为 ，14角度约为角度约为104解毕解毕课堂练习答案课堂练习答案4.在在 中，求证：中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA证：左边证：左边=2 sin2 sincos2 sin2 sincosRARCBRBRCAsinsincossinsincosACBBCAsinsincossincos()sin()CBCABCACcossincossinCBCA=右边右边证毕证毕第五章三角比5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形例例1.设设 两点在河的两岸，要测量两点之间的两点在河的两岸，要测量两点之间的,A B距离，测量者与距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点在同侧，选定所在河岸一点 ，AC测出测出 距离距离 ，AC55m51 ,75BACACB求求 两点间的距离两点间的距离(精确到精确到 ),A B0.1解：由正弦定理，得解：由正弦定理，得sinsinACACBABABC55sin75sin(1805175 )65.7( )m答略答略 解毕解毕BAC问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离分析分析 根据例根据例1 测出测出,C DBACD,AC BC再测出再测出 ACB解：在河岸选定两点解：在河岸选定两点测得测得CDa,BCAACDCDBa问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离例例2.设设 两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一，设计一,A B种测量种测量 两点间距离的方法两点间距离的方法.,A B,BDA问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离例例2.设设 两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一，设计一,A B种测量种测量 两点间距离的方法两点间距离的方法.,A BBACDa解：在解：在 中，中，ACDsin()sin(180)aACsinsin(180)aBC同理在同理在 中中BCD222cosABACBCAC BC解毕解毕问题二问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例例3.河对岸矗立着一座塔河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高，设计一种测量塔高ABAB的方法的方法.分析分析 根据例根据例1的方法测出的方法测出再测出仰角再测出仰角ACB,C D解：在河岸选定两点解：在河岸选定两点测得测得CDa仰角仰角ACB,BCDBDCCBABaCD问题二问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例例3.河对岸矗立着一座塔河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高，设计一种测量塔高ABAB的方法的方法.解解:在在 中中ABCDBCDsinsin(180)aBC在在 中，中，ABCtanABBC因此因此sintansin()aBC解毕解毕a(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度例例4.一艘海轮从一艘海轮从 出发，沿北偏东出发，沿北偏东 的方向航行的方向航行A67.5海里后到达海岛海里后到达海岛 ，然后从，然后从 出发，沿北偏出发，沿北偏B75B东东 的方向航行的方向航行54.0海里后到达海岛海里后到达海岛 .如果下次如果下次32C航行直接从航行直接从 出发到出发到 .此船应沿怎样的方向航行此船应沿怎样的方向航行AC需要航行多少距离？需要航行多少距离？(精确到精确到 0.1)ABC7532(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度ABC753254.067.5解解:(18075 )32ABC137222cosACABBCABBCABC2267.554.02 67.5 54.0 cos137 113.2(海里海里)在在 中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ABC(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度ABC753254.067.5续解续解:(海里海里)由正弦定理，得由正弦定理，得sinsinBCABCCABAC54.0sin137113.15137 ,113.2ABCAC0.325519.0CAB7556.0CAB答略答略 解毕解毕