数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题六 满分示范课 Word版含解析

满分示范课函数与导数函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理【典例】(满分12分)(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线规范解答(1)f(x)的定义域为(0，1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0，1)，(1，)单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，f ln x1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)因为eln x0，所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即ln x0，故直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是.所以曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线高考状元满分心得1得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分如第(1)问中，求导正确，判断单调性利用零点存在定理，定零点个数第(2)问中，由f(x0)0定切点B，求切线的斜率2得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f(x)在(0，)上单调性的判断；第(2)问中，找关系ln x0，判定两曲线在点B处切线的斜率相等3得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证如第(1)问中，求导f(x)准确，否则全盘皆输，判定f(x1)f0；第(2)问中，正确计算kAB等，否则不得分解题程序第一步：求f(x)的定义域，计算f(x)第二步：由f(x)在(1，)上的单调性与零点存在定理，判断f(x)在(1，)上有唯一零点x0.第三步：证明f0，从而f(x)在定义域内有两个零点第四步：由第(1)问，求直线AB的斜率k.第五步：求yex在点A、B处的切线斜率k，得证第六步：检验反思，规范解题步骤跟踪训练1已知函数f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然对数的底数，e2.718 28.(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)g(x)的根的个数，并说明理由；(1)证明：由题意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，h(2)e230，所以h(1)h(2)0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点(2)解：由(1)可知，h(x)f(x)g(x)ex1x.由g(x)x知x0，)，且h(0)0，则x0为h(x)的一个零点又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在0，)上至少有两个零点h(x)exx1，记(x)exx1.则(x)exx，当x(0，)时，(x)0，则(x)在(0，)上递增易知(x)在(0，)内只有一个零点，所以h(x)在0，)上有且只有两个零点，所以方程f(x)g(x)的根的个数为2.2(2019安徽十校联盟)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，f(x)单调递增；若x，f(x)0，f(x)单调递减综上：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，不满足条件当a0时，f(x)的极大值为fln(a)，由已知得ln(a)0，故a1，此时f(x)ln xx1.不妨设0x1x2，则等价于lnx2x1，即证：ln1)，故g(x)在(1，)单调递减，所以g(x)g(1)0x2x1.所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有成立