高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件

第九章 直线与圆的方程9.3 点、线、圆的位置关系高考数学高考数学 (浙江专用)考点直线与圆、圆与圆的位置关系考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2017课标全国文,11,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb63332313五年高考答案答案A由题意可得a=,故a2=3b2,又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2),所以=,所以e=.22|002|()baabba 22ca23ca63方法总结方法总结求离心率问题的实质就是找出a、b、c之间的关系,再利用a2=b2+c2(椭圆)或c2=a2+b2(双曲线),转化为a、c间的关系.2.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案答案B将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d=,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.2a| 1 12|2 23.(2016课标全国,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.243343答案答案A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.2|4 1|1aa434.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.1066答案答案C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22,则|MN|=|(-2+2)-(-2-2)|=4.37222(1 1)(32)66665.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.2210答案答案 C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=6.故选C.22|2AC4046.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=05555答案答案A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得=,解得c=5.故选A.| |5c57.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-5335322354454334答案答案D由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.反射光线所在直线与圆相切,=1,解得k=-或k=-.2| 3223|1kkk4334评析评析本题主要考查直线和圆的位置关系.8.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案答案 D当直线AB的斜率不存在,且0r0和kAB4(y00),即r2.另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),点B,A在抛物线上,(2y0-y1)2=4(6-x1),=4x1,由得-2y0y1+2-12=0,=4-4(2-12)0,12.r2=(3-5)2+=4+16,r0,则b=r.|AB|=2,2=2,r=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)设N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1),则=,又x2+y2=1,=(+1)2,=+1,同理,=+1.=,且-=+1-=2,+=+1+=+1+-1=2,21r 222222|NBNA2222(21)(21)xyxy22222( 21)32 22( 21)32 2xyyxyy22|NBNA42 22( 21)42 22( 21)yy21212 222 22yy2|NBNA2|MBMA2|NANB|MAMB|NBNA|MAMB2121|NBNA|MAMB2121222故正确结论的序号是.15.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.答案答案2解析解析由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此或故a2+b2=1+1=2.1,1ab 1,1,ab 评析评析本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.16.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.答案答案415解析解析易知ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4.经检验均符合题意,则a=4.32|2|1aaa31515评析评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.17.(2014课标,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.答案答案-1,1解析解析解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使OMN=45.当x00时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得OMN=45,应有OMBOMN=45,AMB90,-1x00或0 x01.综上,-1x01.解法二:过O作OPMN,P为垂足,OP=OMsin451,OM,OM22,+12,1,-1x01.1sin4520 x20 x评析评析本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.18.(2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.OMON解析解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以1.解得k.所以k的取值范围为.(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.(7分) =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,2|23 1|1kk 47347347 47,3324(1)1kk271kOMON24 (1)1kkk24 (1)1kkk所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)19.(2013重庆,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5-4B.-1C.6-2D.217217以下为教师用书专用答案答案A圆C1,C2如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4.选A.2评析评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段的和转化成两点间的距离是解题的关键.20.(2013山东,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0答案答案A如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kABkPC=-1,且kPC=,kAB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.1 03 11221.(2013江西,9,5分)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.B.-C.D.-221x3333333答案答案 B如图,设直线AB的方程为x=my+(显然m0,所以m21,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=,SAOB=SPOB-SPOA=|OP|y2-y1|=.令t=1+m2(t2),SAOB=,当=,即t=4,m=-时,AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-,故选B.2222,1xmyyx222 21mm211m1222222284(1)1mmm222224(1)(1)mm222tt22111248t1t14333评析评析本题考查直线与圆的位置关系,解析几何中的面积问题,以及转化与化归思想,数形结合思想.考查学生的运算求解能力,属中档题.22.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.答案答案2 555解析解析易知圆心为(2,-1),r=2,故圆心到直线的距离d=,弦长为2=2=.22|22 ( 1)3|12 3522rd9452 55523.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析解析(1)由题意,得圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,得=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即13.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.2|31|1kk3422(3)xy22xy22(23)aa125120,5评析评析本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.1.(2017浙江温州模拟考(2月),4)若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,则实数b的取值范围是()A.-1,1B.0,1C.0,D.-,222三年模拟一、选择题A组 20152017年高考模拟基础题组答案答案D由题意知,1,即-b,故选D.|2b222.(2016浙江温州一模,4)已知直线l:y=kx+b,曲线C:x2+y2-2x=0,则“k+b=0”是“直线l与曲线C有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案答案A曲线C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心(1,0),半径r=1,若k+b=0,则直线l过圆心,所以直线l与曲线C有公共点,当k=1,b=0时,直线y=x与曲线C有公共点,但k+b0,故是充分不必要条件,故选A.3.(2016浙江镇海中学测试(六),6)过点P(m,n)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线,切点分别是A,B,若ACB=120,则3m+4n的最小值是()A.8B.15C.22D.28答案答案 A由题意知,|PC|=2,所以P的轨迹是以(2,3)为圆心,2为半径的圆.设3x+4y=t,则问题转化为圆心到直线3x+4y=t的距离不大于2,即2,所以8t28,故选A.22|3 24 3|34t 4.(2015浙江嘉兴一中一模,6)已知直线Ax+By+C=0(A2+B2=C20)与圆x2+y2=4交于M,N两点,O为坐标原点,则 等于()A.-2B.-1C.0D.1OMON答案答案A设M(x1,y1),N(x2,y2),则 =x1x2+y1y2.由消去y得(A2+B2)x2+2ACx+C2-4B2=0.所以x1x2=.同理,消去x可得y1y2=.所以=x1x2+y1y2=.又C2=A2+B2,所以x1x2+y1y2=-2,即=-2.故选A.OMON220,4AxByCxy22224CBAB22224CAABOMON22222244CABABOMON评析评析本题考查圆的方程,直线与圆的位置关系,向量的数量积,根与系数的关系,考查学生的推理运算能力和化归与转化思想.5.(2017浙江“超级全能生”联考(12月),17)如图,AOB=60,点C在AOB内,且OC=3,以C为圆心,1为半径作圆,点X,Y分别是射线OA,OB上异于O的动点,点P在圆C上运动,若圆C和AOB两边都没有交点,则PX+PY+XY的最小值为.二、填空题答案答案23解析解析如图,分别作P关于直线OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2,P1X,P2Y,OP1,OP2,则P1X=PX,P2Y=PY,所以PX+PY+XY=P1X+P2Y+XYP1P2.由对称知,P1OP2=,OP1=OP2=OP,所以P1P2=OP,因为OPOC-1=2,因此P1P22,即PX+PY+XY的最小值为2.2322121222cos3OPOPOPOP3336.(2017浙江嘉兴基础测试,14)由直线3x-4y+5=0上的任意一点P向圆x2+y2-4x+2y+4=0引切线,则切线长的最小值为.答案答案22解析解析圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1,设圆心为C(2,-1),切点为M,则|PM|=,要使切线长最小,则需|PC|最小.圆心到直线3x-4y+5=0的距离d=3,当|PC|=d时切线长的最小值为=2.2|1PC|645|59 127.(2017浙江镇海中学第一学期期中,14)设集合M=(x,y)|y=,N=(x,y)|y=k(x-b)+1,若对任意的0k1都有MN,则实数b的取值范围是.21x答案答案0,2解析解析 M是由原点为圆心,半径为1的x轴上方(包括x轴)的半圆上的点组成的集合,N是由过点P(b,1),斜率为k的直线l上的点组成的集合,设A(1,0),B(0,1).当b=2时,kPA=1,作出图形可知,当0b2时,对于任意的0k1,直线l与圆弧总有交点,即MN.当b2时,kPA=2不符合题意.当-1b0,令k0=min,取0kk01,此时直线l与圆弧没有交点,即-1b0)与直线y=x+2相交于P、Q两点,则当CPQ的面积S最大时,实数a的值为,当a变化时,圆系C的公切线方程为.答案答案4;y=2x25解析解析设圆心C到直线y=x+2的距离为d,则|PQ|=2,S=d|PQ|=d=2(当且仅当d=时,取等号),由=2a=4(a=0舍去).因为圆心在直线y=2x上,所以公切线方程可设为y=2x+b.由于圆心到直线y=2x+b的距离为2,所以由=2得b=2,故公切线方程为y=2x2.24d1224d2242dd22|22|2aa|5b551.(2017浙江镇海中学模拟训练(二),7)若圆C:(x+1)2+(y-1)2=8上有且只有两个点到直线x+y+m=0的距离等于,则实数m的取值范围为()A.(-6,-2)(2,6)B.(-8,-4)(4,8)C.(2,6)D.(4,8)2一、选择题B组 20152017年高考模拟综合题组答案答案A圆心C(-1,1)到直线x+y+m=0的距离d=.结合图形易知d3,得2|m|6,故选A.|2m22 2,22 2,dd222.(2017浙江名校协作体,6)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则ECF的面积为()A.B.2C.D.3253 5534答案答案 B圆心(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离d=,所以|EF|=2=4,因此SECF=4=2,故选B.|263|5523512553.(2017“超级全能生”浙江高三3月联考,7)已知函数f(x)=|-x |(xR),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,P为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为()A.4B.2C.D.MPMN33332答案答案A由题可知函数f(x)取最小值t时,t是过点P向MN所作的垂线段的长度.如图,当t取最大值时,点P运动到单位圆O上的Q点的位置,又大圆半径R=4,小圆半径r=1,所以MN=2=4,故选A.22(3)Rr34.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,8)已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是()A.0kB.kC.kD.k0或k4343344343答案答案A已知圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.设满足题设的点为(t,kt-2),则关于t的不等式0(t-4)2+(kt-2)24有解,即关于t的不等式(1+k2)t2-(4k+8)t+160有解,从而=16(k+2)2-64(1+k2)0,解得0k.43一题多解一题多解由题意可知,两圆有公共点,则可知圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离不超过2,即2,解得0k,故选A.2|42|1kk435.(2016浙江镇海中学测试(八),7)已知P是直线y=x+t上任意一点,过P引圆x2+(y-2)2=8的一条切线,切点为Q.若存在定点M,均有|PM|=|PQ|,则t的取值可能是()A.-3B.-1C.1D.3答案答案A设P(x,x+t),M(m,n),则|PQ|2=x2+(x+t-2)2-8=2x2+2(t-2)x+t2-4t-4,|PM|2=(x-m)2+(x+t-n)2=2x2+2(t-m-n)x+m2+(t-n)2.因为对于任意的xR,|PM|=|PQ|恒成立,所以即消去n得-mt=m2-2m+4,显然m0,所以-t=m+-2,显然-t=m+-2(-,-62,+),所以t(-,-26,+).故选A.22222,442,ttmntttntmn 222,2(2)4,mnntmn4m4m6.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),14)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线l:kx-y-2k-3=0与圆C相交于A,B两点,且ABC为直角三角形,则k=;若直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值为.12二、填空题答案答案1或;177243 437解析解析圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,所以要使ABC为直角三角形,只需点C到l的距离为,由=,解得k=1或.要使直线l上至少存在一点,以该点为圆心,为半径的圆与圆C有公共点,仅需点C到l的距离在区间内即可,由,解得k,故kmin=.222|23|1kk22177121 3,2 2122|23|1kk32243 43 2451,7152451 243 43,157243 4377.(2017浙江吴越联盟测试,14)设A是圆C1:(x-1)2+y2=1上任意一点,B1,B2是圆C2:x2+y2=1上的不同两点,且关于圆C1和圆C2的连心线对称,则|AB1|2+|AB2|2的取值范围是.答案答案2,18)解析解析设A(x0,y0),B1(x1,y1),B2(x1,-y1),其中x11,则有|AB1|2+|AB2|2=(x0-x1)2+(y0-y1)2+(x0-x1)2+(y0+y1)2=2+4x0(1-x1),因为01-x12,0 x02,所以0 x0(1-x1)4,所以|AB1|2+|AB2|2的取值范围是2,18).评析评析本题主要考查点与圆、圆与圆的位置关系和不等式的性质,考查学生的运算求解能力.8.(2016浙江镇海中学测试(七),9)已知OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(0,4),圆C:(x-a)2+(y-b)2=1与OAB的边有公共点,的最大值是,点(a,b)所在平面区域的面积是.2 3ba 答案答案;13+6+32解析解析要使圆C与OAB的边有公共点,仅需圆心C到OAB的边的距离不超过1即可,作出圆心所在的平面区域,如图中阴影部分所示.目标函数z=表示定点(-2,0)与平面区域内的点(a,b)连线的斜率.设k=,即y=k(x+2),由图易知,当直线y=k(x+2)与圆x2+(y-4)2=1的上部相切时,目标函数值达到最大,此时=1,整理得11k2-16k+15=0,解得k=或k=.所以的最大值是.平面区域的面积S=42+1(4+4+4)+-=13+6+.2 3ba 32 3yx332|2 34|1kk35 31132 3ba 3122122(22)2