(新课标)高考数学大一轮复习第八章平面解析几何质量检测理

第八章平面解析几何单元质量检测时间： 90 分钟分值： 100 分一、选择题 ( 每小题 4分，共 40分 )1已知两条直线 y ax 2和 3x ( a 2) y 1 0 互相平行，则a 等于 ()B1或 3A1 或3D1 或3C1或 3解析： 因为直线yax2 的斜率存在且为，所以 ( 2) 0，所以 3x ( 2)yaaa313110 的斜截式方程为y a2x a2，由两直线平行 ，得 a2 a 且 a2 2，解得 a1 或 a 3.答案： A2(2016 温州十校联考 ) 对任意的实数 k，直线 y kx 1 与圆 C： x2 y2 2x 2 0的位置关系是 ()A相离B相切C相交D以上三个选项均有可能解析： 直线 y kx 1 恒经过点 A(0 ， 1)，圆 x2 y2 2x 2 0的圆心为 C(1 ， 0) ，半径为3，而| AC| 2 3，故直线 y kx 1 与圆 x2 y22x 2 0 相交 ，故选 C.答案： C3 (2016 兰州模 拟 ) 已知圆O1： ( x a) 2 ( y b) 2 4，圆 O2 ： ( x a 1) 2 ( y b2) 2 1( a， bR) ，那么两圆的位置关系是()B内切A内含D外切C相交解析： 因为圆 O1： ( xa) 2 ( y b)2 4，圆 O2： ( x a1) 2 ( yb 2)21，圆 O1的圆心坐标为 ( a， b) ，半径为2，圆 O2 的圆心坐标是 ( a1， b 2) ，半径为1，所以两圆的圆心距为：（a1a）2（b2b）25，因为 1 5b0) 的离心率为2 ，则双曲线a2 b2 1 的渐近线方程为()1B y2xA y 2xDy1Cy 44xxa2b2322解析： 由题意a 2 ，所以 a 4b .x2y2故双曲线的方程可化为4b2 b2 1，1故其渐近线方程为y 2x.答案： Ax2y212126已知椭圆 25 16 1的焦点是 F， F ，如果椭圆上一点P 满足 PF PF，则下面结论正确的是 ()B P 点有四个A P点有两个D P点一定不存在C P 点不一定存在解析： 设椭圆的基本量为a，则 5， 4，3. 以1 2 为直径构造圆 ，可知bcabcF F圆的半径 r c 30， b0) 的虚轴上顶点是A，右焦点是 F，O 为坐标原点 ，点 P1满足 AP 2PF， 若直线 OP的倾斜角是60， 则该双曲线的离心率是()B 2A.2234D.3C. 3解析： 由题意可知(0， )， (，0)，又 1 ，所以c，2b，因为直AbF cAP2PFP 332/102b22222232c2线 OP的倾斜角是60， 所以 kOP c 3，4b 3c，则 a c b c 4c 4 ，即 acc2，故离心率 ea 2.答案： B8已知抛物线y2 2(0) ，过其焦点且斜率为1 的直线交 抛物线于，两点，若px pAB线段 AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()B x 1A x 1D x 2C x 2p解析： 设 A( x1， y1 ) ，B( x2， y2) ，由题知抛物线的焦点坐标为F 2，0 ，所以过焦 点且pp2斜率为1 的直线方程为y x 2，即 x y 2. 将其代入抛物线方程，得 y 2px 2pyp 2py 2，所以y2 2 2 0，所以y1y2p2，所以抛物线的方程为y22ppyp24x，其准线方程为x 1.答案： B9如图所示 ，已知直线 l ： y k( x 1)( k0) 与抛物线 C： y2 4x 相交于 A， B 两点 ，且 ，两点在抛物线C的准线上的射影分别是，若|2| ，则k的值是 ()A BM NAMBN21B.3A. 3222D 2C.3解析： 设点 (1)， (2) ，联立方程组y24x，x24 4k1，2，消去得A xyB xykyyyk（ x1），0. 因为直线l 与抛物线 C相交，所以 42 4 k4k 16(1 k2)0. 因为 y1，y2 是方程 的两根 ，4所以 y1 y2 k， 3/10y1y2 4. 又因为 |2| |，所以y1 2y2. AMBN22由 ，得 k3 ，代入 式检验 ，不等式成立 ，22所以 k 3 .答案： Cx2y210 (2015 重庆卷 ) 设双曲线 a2 b2 1( a0，b0) 的右焦点为F，右顶点为A，过 F作 AF的垂线与双曲线交于B，C 两点，过 B， C分别作 AC， AB的垂线，两垂线交于点D. 若D到直线 BC的距离小于 aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A( 1， 0) (0 ， 1)B ( ， 1) (1 ，)C( 2，0) (0 ， 2)D( ， 2) ( 2，)解析： 如图所示 ，在双曲线x2y21中， (，0) ，Bc，b2，Cc， b2，a2b2A aaab2所以直线 BA的斜率为 kBA a（c a），所以过 C点与 BA垂直的直线方程为a（ac）b2yb2( x c) a 同理可得 kb2 a（c a），CA所以过 B 点与 CA垂直的直线方程为a（ca）b2yb2( x c) a b4a2c（a c）联立 可得， xa2（ac），即 D点的横坐标为b4a2c（a c）xa2（ac），由 D到 BC的距离小于 aa2b2 a c，4/10b4a2c（ac）b422b2所以 c x ca2（ ac） a2（a c）a c，即 ba ，所以 0a2 30，解|a|1a3aa得 3a0 ，b0) 的渐近线与抛物线2：x2 Ca2b2aC2py( p0) 交于点 O， A， B. 若 OAB的垂心为 C 的焦点 ，则 C 的离心率为 _21b2p解析： 双曲线的渐近线方程为y ax，抛物线x 2py 的焦点 M 0，2 .b2bp2b2pyx，由a可得点 Ba ， a2，x22py，b2bp2b2py x，同理由a可得点 A a ， a2 .x22py，p M 0，2 为 OAB的垂心 ， BM AO.由斜率公式，得2b2p2b2ppAOa2bBMa2 24b2a2k ， k 2bp4ab，2bpa aa kk 1，OABMb4b2a2 a 4ab 1，化简得 4b2 5a2， b2a254.2b2593故 e 1 a2 1 44， e2.3答案： 2三、解答题 ( 共 4小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15 (10分 )(2015安徽卷 ) 设椭圆E的方程为x2y2 1( 0) ，点O为坐标原点 ，a2b2a b点 A 的坐标为 ( a， 0) ，点 B 的坐标为 (0 ， b) ，点 M在线段 AB上，满足 | BM|2|MA|，直线5的斜率为.OM10(1) 求 E 的离心率 e；(2) 设点C的坐标为 (0 ， ) ，N为线段的中点，点N关于直线的对称点的纵坐bACAB6/107标为 2，求 E 的方程215b5解： (1) 由题设条件知 ，点 M的坐标为3a，3b ，又 kOM 10，从而 2a 10 . 进而得 ac2 55b， c a2b2 2b，故 e a5 .(2) 由题设条件和(1) 的计算结果可得xy，直线 AB 的方程为 1. 点 N 的坐标为5bb512 b，2b.7设点 N 关于直线AB 的对称点 S 的坐标为x1，2，则线段NS 的中点T 的坐标为5x1174b 2， 4b4.又点 T 在直线 AB上，且 kNS kAB 1，从而有71x154b42 b 4，1bb5解得 b 3.b17. 5225b 2x1x2y2所以 a 35，故椭圆 E的方程为 45 9 1.x2y216 (10分 )(2015 陕西卷 ) 如图 ，椭圆E： a2 b2 1( ab0) 经过点A(0 ， 1) ，且2离心率为 2 .(1) 求椭圆 E的方程；(2) 经过点 (1 ， 1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P， Q( 均异于点 A) ，证明：直线 AP与 AQ的斜率之和为 2.解： (1)由题设知c2， b 1，a2结合a2b2c2，解得.a2所以椭圆 E的方程为x2 y2 1.27/10x22(2) 证明：由题设知 ，直线 PQ的方程为 y k( x 1) 1( k2) ，代入 2 y1，得(1 2k2)x24 ( 1)x2 (k2) 0.k kk由已知可知0.设 P( x ， y ) ， Q( x2，y ) ， xx 0，11212则 x124k（ k1）1 22k（k2）. x12k2， x x12k2从而直线 AP， AQ的斜率之和kAPAQy11y21kx12 kkx22k k x1 x2x1x2 2k(2 k)11 2k (2 k)x1x2x1x2x1x24k（k1） 2k(2 k) 2k（k2） 2k 2( k 1) 2.17 (12 分 )(2016 江西四市第一次调研) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：x2Ca2y226 b2 1( ab0) 的离心率为2 ，且过点1， 2，过椭圆的左顶点A 作直线 l x 轴，点 M为直线 l 上的动点 ( 点 M与点 A 不重合 ) ，点 B 为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆 C于点 P.(1) 求椭圆 C的方程；(2) 求证： AP OM；(3) 试问 OP OM是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由x2y2222解： (1) 椭圆 C： a2 b2 1( ab0) 的离心率为 2 ， a 2c ，2261322则 a 2b ，又椭圆 C过点1，2， a2 2b2 1. a 4， b 2，x2y2则椭圆 C的方程为 4 2 1.(2) 证明：由 (1)知 (2，0)，B设 P( x1， y1) ，直线 BM的斜率为 k，则直线 BM的方程为 y k( x 2) ，将 y k( x 2) 代入椭圆 C的方程 x2 y2 1 中并化简整理得： (2 k2 1) x2 8k2x 8k24 24 0，8/104k224k4k22 4k解之得 x12k21， x2 2， y1 k( x1 2) 2k21，从而 P 2k21，2k21 .令 x 2，得 y 4k， M( 2， 4k) ， OM ( 2， 4k) 又 4k222， 4k8k2， 4k，AP2k212k212k2 1 2k21 16k216k2 0，APOM2k212k21 AP OM.4k224k(3) 是 OP OM 2k21，2k21 ( 2， 4k) 8k2 416k2 8k2 4 2k21 2k2 1 4. OP OM为定值 4.18 (12 分 )(2014 山东卷 ) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆： x2 y2 1( 0)的C a2 b2a b3410离心率为2，直线 y x 被椭圆 C截得的线段长为5 .(1) 求椭圆 C的方程；(2) 过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点 ( A， B 不是椭圆 C 的顶点 ) 点 D 在椭圆 C 上，且 AD AB，直线 BD与 x 轴、 y 轴分别交于 M， N两点 设直线 BD， AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数 使得 k1 k2，并求出 的值；求 OMN面积的最大值a2b2322解： (1) 由题意知a 2 ，可得 a 4b .椭圆 C的方程可简化为x2 4y2 a2 .将 y x 代入可得 x 5a5 ，25a410a 2.因此b 1，因此 ，可得255x22所以椭圆C的方程为 y 1.(2) 设 (1， 1)(110) ， (2，2) ，则( 1， 1) 因为直线AB的斜率kABA xyx yD xyB xyy1x1，9/10x1又 AB AD，所以直线 AD的斜率 k y1.设直线的方程为ykx ，由题意知k0， 0.ADmmykxm，由x2可得 (1 4k2)x2 842 4 0.y21mkx m4所以 x1 x28mk，1 4k212122m因此 y y k( x x ) 2m 14k2.由题意知 x1 x2，所以 k1y1y21y1x1x24k.4x1所以直线 BD的方程为 y yy1) 4x1( x x11令 y 0，得 x 3x ，1即 M(3 x12y1， 0) ，可得 k 2x1.11所以 k1 2k2，即 2.因此存在常数1 使得结论成立2 直线 BD的方程 y y1 y1 ( x x1) ，4x133令 x 0，得 y 4y1，即 N 0， 4y1 .由知 (31， 0) ，可得 的面积M xOMN1x39x1|y1|. 3|1| |1| |S24y8x21因为 | x1| y1| 4 y12 1.当且仅当 |x1| |y1| 2时等号成立 ，此时S取得最大值9，所以 面积的最大值228OMN9为 8.10/10