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第五节函数的奇偶性和周期性第五节函数的奇偶性和周期性基础梳理1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为奇函数；如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为偶函数2. 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象_；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象_3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数_叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)关于原点对称关于y轴对称Tf(x+T)=f(x)4. 奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=_ =_(f(x)0)5. 奇(偶)函数有关的结论(1)若一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=_.(2)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)+f(-x)为_函数；f(x)-f(-x)为_函数；f(x)f(-x)为_函数fxf x 010偶奇偶6. 函数周期性的相关结论(1)设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(x+a)=-f(x)；f(x+a)= ；f(x+a)=- ；f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期(以上各式中分母均不为零)(2)函数图象的对称性：若f(x+a)=f(b-x)(a、b为常数)在定义域上恒成立，则f(x)的图象关于直线_对称特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线_对称，_时，f(x)为偶函数 1f x 1f x a=0 x=a2abx基础达标1. (必修1P39例6改编)有以下函数：f(x)=x2-1；f(x)=x3-2x；f(x)=2|x|-1；f(x)=(x-1)2；f(x)=x4，x-2,2)；f(x)= .其中，奇函数有_，偶函数有_(填序号) 2x解析：验证f(-x)与f(x)的关系，可知为奇函数，为偶函数，的定义域不关于原点对称，不满足奇、偶函数定义，故为非奇非偶函数 2. (2010泰州调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)+f(-2)=2，则f(2)-f(3)=_.3. 已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b=_.解析：f(x)为R上的奇函数，f(2)-f(3)=-f(2)+f(3)=-f(-2)+f(3)=-2.-213解析：定义域关于原点对称，故a-1+2a=0，则a= ，又f(x)为偶函数，故b=0，a+b= 13134. 下面四个命题：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)其中正确的命题序号为_4.解析：错误，比如f(x)= ；错误，比如f(x)= ；错误，如f(x)=0，x-1,1 21x1x5. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0,2)时，f(x)=2x2，则f(2 011)=_.解析：f(x+4)=f(x)，f(x)的最小正周期为4，又f(x)为奇函数，f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2.-2经典例题题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列各函数的奇偶性1(1) ( )(1)1xf xxx221(2) ( )|2| 2lgxf xx 2,1(3) ( )0,| 12,1.xxf xxxx 分析：(1)考虑定义域；(2)利用定义域先化简函数；(3)分段讨论解：(1)由 0，得定义域为-1,1)，不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数(2)由 得定义域为(-1,0)(0,1)这时 ， ，f(x)为偶函数11xx2210|2| 20 xx 222211( )22lgxlgxf xxx 222211()( )lgxlgxfxf xxx (3)当x1，f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x)当x1时，f(x)=-x+2，-x-1，f(-x)=-x+2=f(x)当-1x1时，f(x)=0，又-1-x1，f(-x)=f(x)=0.对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数判断下列函数的奇偶性变式1-122,0(1) ( ),0 xx xf xxx x22(2) ( )33f xxx(3)f(x)=x2-|x-a|+2.解析:(1)当x0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)对任意x(-，0)(0，+)都有f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数(2)由 得x= 或x= ，函数f(x)的定义域为 ， 又对任意的x ， ，f(x)=0，f(-x)=f(x)=-f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数223030 xx 333333(3)函数f(x)的定义域为R.当a=0时，f(x)=f(-x)，f(x)是偶函数；当a0时，f(a)=a2+2，f(-a)=a2-2|a|+2，f(a) f(-a)，且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2) ，f(x)是非奇非偶函数 2172 |022a题型二奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)= (a，b，cZ)是奇函数，又f(1)=2，f(2)f(2x)，求x的取值范围 21axbxc分析：第(1)小题关键是f(-x)=-f(x)恒成立的应用，即 对定义域中任何x都成立，所以-bx+c=-bx-c恒成立，可得c=0；第(2)小题关键是利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)，将f(3x-1)f(2x)转化为f(|3x-1|)f(|2x|)，这样就避免了讨论2211axaxbxcbxc 解：(1)由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c)，c=0.又f(1)=2，得a+1=2b，而f(2)3，得 3，解得-1af(2x)，得f(|3x-1|)f(|2x|)，因而有|3x-1|2x|，化简得5x2-6x+10，解得x1.则x的取值范围为 (1，+) 151,5已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)变式2-1解析：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称函数f(x)对一切x、yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，f(0)=0.再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数(2)f(-3)=a且f(x)为奇函数，f(3)=-f(-3)=-a.又f(x+y)=f(x)+f(y)，x、yR，f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)题型三函数周期性及其应用分析：技巧在于通过换元进行转化，求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化，转化到已知区间上，因为只有此时才有函数解析式解：(1)证明：f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2，又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2，f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0，f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)=0.变式3-1已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0 x1时，f(x)= x，求使f(x)=- 的所有x的值 1313解析：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，f(x)的周期为4，当0 x1时，f(x)= x，f(1)= ，f(-1)=- ，当x=4k-1，kZ时，f(x)=- 13131313【例】判断函数f(x)= 的奇偶性错解当x0时，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x)；当x0时，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x)函数f(x)是奇函数2223,02,023,0 xxxxxxx正解：f(x)既不是奇函数也不是偶函数易错警示链接高考1.(2010江苏)设f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则a=_.知识准备：1. 理解函数奇偶性的定义；2. 会用赋值法求解函数问题解析：方法一：由f(-x)=f(x)-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x)，a=-1.方法二：f(x)为R上的偶函数，可以赋特殊值，故f(-1)=f(1)a=-1.方法三：f(x)=x(ex+ae-x)是由两个函数h(x)=x与g(x)=ex+ae-x相乘而得，又h(x)=x为奇函数，且f(x)为偶函数，则g(x)在R上为奇函数，故g(0)=0a=-1. -12. (2010山东改编)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=_.知识准备：1. 知道奇函数的定义及奇函数在原点处有定义时f(0)=0；2. 知道要求f(-1)时转化为求f(1)解析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(-x)+f(x)=0，当x=0时，f(0)=0，可得b=-1，此时f(x)=2x+2x-1(x0)，f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3.-3
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