888第二章离散时间信号与系统的变换域分析

第二章离散时间信号与系统的变换域分析 2.1 序列的Z变换 Z变换的定义 Z变换的收敛域 逆Z变换 Z变换的性质与定理 Z变换与拉氏变换的关系 Z变换的定义 抽样信号 进行拉氏变换得： Z变换的定义 Z变换的定义 例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。 解： 为保证收敛，则 若 a = 1, 则 Z变换的定义 例2：求序列 x(n)= -an u(-n-1)的Z变换。 解： Z变换的定义 例3：求序列 x (n)= (1/3)|n| 的Z变换。 解： Z变换的收敛域 Z变换的收敛域 对于任意给定的序列x(n) ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即： 根据级数收敛的阿贝尔定理 Z变换的收敛域 1.有限长序列 x(n)仅在有限长的时间间隔n1n n2内，序列值不全为零，其它时间全为零，即 Z变换的收敛域 2.右边序列 x(n)在n n1时，序列值不全为零，在n n1时序列值全为零，此时有 收敛域为 如为因果序列，其收敛域为 Z变换的收敛域 3.左边序列 x(n)在n n2以外序列值全为零，仅在n n2时有非零值，其z变换为 Z变换的收敛域 4.双边序列 双边序列的序列值n可取任何整数值 ，其z变换为 Z变换的收敛域 如果序列Z变换可表达成有理分式的形式： 称分子多项式的零点为X(z)的零点，分母多项式的零点为X(z)的极点，因为极点z变换不存在，因此在收敛域内应没有极点，故可通过取X(z)的极点为边界来确定其收敛半径。 Z变换的收敛域 例求单位阶跃序列 u(n) 的z变换，并确定其收敛域。 解： 由于u(n)为因果序列，其Z变换收敛域为 ，因函数 在z=1处有一极点，极点应在收敛域外，因此可取 ，求得u(n)的z变换收敛域为 。 Z变换的收敛域 例求序列 逆Z变换 逆Z变换 从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。 逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法） 逆Z变换 1、围线积分法 根据复变函数中的柯西积分公式 式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 在Z变换的定义式中两边同乘以zk-1，并作围线积分，得 逆Z变换 利用柯西积分公式，当n=k时，得到X(z)的逆Z变换公式如下 若被积函数X(z)zn-1是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。 根据留数定理，x(n)等于围线C内全部极点留数之和，即 逆Z变换 逆Z变换 如果zk为m阶极点，则其留数为 在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。 例如，在n小于某一值时，在z=0在围线内部可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。 逆Z变换 例已知序列的Z变换为 逆Z变换 并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得 逆Z变换 例已知序列的Z变换为 求原序列x(n) 逆Z变换 在收敛域 内，作包围原点的围线，当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为 当n 0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有 逆Z变换 2、部分分式展开法 部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理分式形式时的逆Z变换。 若假定序列为因果序列，则一定有NM。当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式 逆Z变换 其中zk为X(z)的单极点, Ak(k=0,1,N)为常数。A0对应的序列为(n)，由例2-1-3知，求和式中的各项所对应的序列为 。因而上式的逆Z变换为 可按留数定理求得各系数Ak(k=0,1,N)如下，为了方便通常利用X(z)/z的形式求取 逆Z变换 当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处有一个s阶的极点，则其展开式修改为 式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为 逆Z变换 逆Z变换 3、长除法(幂级数展开法) 按定义Z变换为z-1的幂级数，只要在给定的收敛域内将X(z)展开成幂级数形式，则级数中的系数就是原序列x(n)。 在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开，对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。 逆Z变换 例 用长除法求 的逆Z变换。 解：由收敛域知，这是一右边序列，用长除法将其 展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排列 逆Z变换 逆Z变换 逆Z变换 Z变换的性质与定理 1. 线性性 Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列x(n)和y(n)的Z变换分别用X(z)和Y(Z)表示，即 则 Z变换的性质与定理 例 求序列 的z变换，并确定其收敛域。 解： Z变换的性质与定理 2.序列的移位 如果 则 Z变换的性质与定理 例 设 求 的z变换和收敛域。 Z变换的性质与定理 3.序列乘指数序列(z域尺度变换) Z变换的性质与定理 4.序列的反褶 5.序列的共轭 Z变换的性质与定理 6.微分性质 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 7.初值定理 如果x(n)为因果序列，它的初值可由下式求得 这是因为 Z变换的性质与定理 8.终值定理 若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 证明： Z变换的性质与定理 由于Y(z)=X(z)H(z)，所以Y(z)的收敛域是X(z)和H(z)的重叠部分，一般来说要比原来的小，但如果其中一个Z变换在收敛域边界上的极点被另一个的零点所抵消，则收敛域会扩大。 卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一。按照卷积定理，显然有 Z变换的性质与定理 利用卷积定理可以很容易证明序列的相关定理。已知序列x(n)和y(n)的互相关序列为 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 10.序列相乘（复卷积定理） Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 现证明 按Z变换定义得 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 Z变换的性质与定理 12重抽样序列的Z变换 介绍了对序列的抽取运算，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)两者之间的关系为 Z变换的性质与定理 Z变换与拉氏变换的关系 1.S平面到Z平面的映射 Z变换与拉氏变换的关系为 这个关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面。 若将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得 Z变换与拉氏变换的关系 Z变换与拉氏变换的关系 但由于 是?的周期函数，S平面每增加一个宽为2?/T的水平条带时，对应于Z平面从-?到+?旋转了一周。这样就有 即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面|Z|=1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图 Z变换与拉氏变换的关系 2抽样序列的Z变换表示 已知抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上S=j?的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面|Z|=1的单位圆上，故有 2.2 序列的傅里叶变换 序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似。 序列傅立叶变换的定义 1序列傅立叶正变换 x(n)的傅立叶变换定义如下: 是?的连续函数。但由于 其中M为整数，故有 序列傅立叶变换的定义 2序列傅立叶变换与Z变换的关系 序列的傅立叶变换式： 序列的Z变换定义式： 可见序列的傅立叶变换是Z变换在 时的Z变换，即Z变换在的单位圆上|Z|=1的特殊情况。故有 序列傅立叶变换的定义 由于单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 3序列的傅立叶反变换 序列的傅立叶反变换记为 其公式为 序列傅立叶变换的定义 4序列的傅立叶变换的收敛条件 根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为 这要求序列满足绝对可和的条件 该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件 有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。 对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，例如u(n),ej? ,一些周期序列等，若引入频域的冲击函数，它们的傅立叶变换也存在。 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 序列傅立叶变换的定义 5常用序列的傅立叶变换 序列的傅立叶变换的性质 因序列的傅立叶变换是Z变换在|Z|=1的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。 下面列出这些性质，所有性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。 序列的傅立叶变换的性质 1.线性性 序列的傅立叶变换的性质 3.频域的相移 序列的傅立叶变换的性质 5.序列的共轭 序列的傅立叶变换的性质 7.时域卷积定理 序列的傅立叶变换的性质 8.序列相乘(频域卷积定理) 序列的傅立叶变换的性质 9.序列相关 序列的傅立叶变换的性质 序列的傅立叶变换的性质 10.帕思瓦定理(Parseval) 序列的傅立叶变换的性质 序列的傅立叶变换的性质 11.重抽样序列的傅立叶变换 序列傅里叶变换的对称性 1序列的共轭对称性质 序列傅里叶变换的对称性 序列傅里叶变换的对称性 序列傅里叶变换的对称性 序列傅里叶变换的对称PET/CT示踪剂18F-FDG(氟代脱氧葡萄糖)氟代脱氧葡萄糖氟代脱氧葡萄糖是2-脱氧葡萄糖的氟代衍生物。其完整的化学名称为2-氟-2-脱氧-D-葡萄糖，通常简称为18F-FDG或FDG。FDG最常用于正电子发射断层扫描（PET）类的医学成像设备：FDG分子之中的氟选用的是属于正电子发射型放射性同位素的氟-18（fluorine-18，F-18，18F，18氟），从而成为18F-FDG（氟-18F脱氧葡糖）。在向病人（患者，病患）体内注射FDG之后，PET扫描仪可以构建出反映FDG体内分布情况的图像。接着，核医学医师或放射医师对这些图像加以评估，从而作出关于各种医学健康状况的诊断。历史二十世纪70年代，美国布鲁克海文国家实验室（Brookhaven National Laboratory）的Tatsuo Ido首先完成了18F-FDG的合成。1976年8月，宾夕法尼亚大学的Abass Alavi首次将这种化合物施用于两名正常的人类志愿者。其采用普通核素扫描仪（非PET扫描仪）所获得的脑部图像，表明了FDG在脑部的浓聚（参见下文所示的历史参考文献）。作用机理与代谢命运作为一种葡萄糖类似物，FDG将为葡萄糖高利用率细胞（high-glucose-using cells）所摄取，如脑、肾脏以及癌细胞。在此类细胞内，磷酸化过程将会阻止葡萄糖以原有的完整形式从细胞之中释放出来。葡萄糖之中的2位氧乃是后续糖酵解所必需的；因而，FDG与2-脱氧-D-葡萄糖相同，在细胞内无法继续代谢；这样，在放射性衰变之前，所形成的FDG-6-磷酸将不会发生糖酵解。结果，18F-FDG 的分布情况就会很好地反映体内细胞对葡萄糖的摄取和磷酸化的分布情况。在FDG发生衰变之前，FDG的代谢分解或利用会因为其分子之中2位上的氟而受到抑制。不过，FDG发生放射性衰变之后，其中的氟将转变为18O；而且，在从环境当中获取一个H+之后，FDG的衰变产物就变成了葡萄糖-6-磷酸，而其2位上的标记则变为无害的非放射性“重氧”（heavy oxygen，oxygen-18）；这样，该衰变产物通常就可以按照普通葡萄糖的方式进行代谢。 临床应用在PET成像方面，18F-FDG可用于评估心脏、肺脏以及脑部的葡萄糖代谢状况。同时，18F-FDG还在肿瘤学方面用于肿瘤成像。在被细胞摄取之后，18F-FDG将由己糖激酶（在快速生长型恶性肿瘤之中，线粒体型己糖激酶显著升高）),加以磷酸化，并为代谢活跃的组织所滞留，如大多数类型的恶性肿瘤。因此，FDG-PET可用于癌症的诊断、分期（staging）和治疗监测（treatment monitoring），尤其是对于霍奇金氏病（Hodgkins disease，淋巴肉芽肿病，何杰金病）、非霍奇金氏淋巴瘤（non-Hodgkins lymphoma，非何杰金氏淋巴瘤）、结直肠癌（colorectal cancer）、乳腺癌、黑色素瘤以及肺癌。另外，FDG-PET还已经用于阿耳茨海默氏病（Alzheimers disease，早老性痴呆）的诊断。在旨在查找肿瘤或转移性疾病（metastatic disease）的体部扫描应用当中，通常是将一剂FDG溶液（通常为5至10毫居里，或者说200至400兆贝克勒尔）迅速注射到正在向病人静脉之中滴注生理盐水的管路当中。此前，病人已经持续禁食至少6小时，且血糖水平适当较低（对于某些糖尿病病人来说，这是个问题；当血糖水平高于180 mg/dL = 10 mmol/L时，PET扫描中心通常不会为病人施用该放射性药物；对于此类病人，必须重新安排PET检查）。在给予FDG之后，病人必须等候大约1个小时，以便FDG在体内充分分布，为那些利用葡萄糖的器官和组织所摄取；在此期间，病人必须尽可能减少身体活动，以便尽量减少肌肉对于这种放射性葡萄糖的摄取（当我们所感兴趣的器官位于身体内部之时，这种摄取会造成不必要的伪影（artifacts，人工假象）。接着，就会将病人置于PET扫描仪当中，进行一系列的扫描（一次或多次）；这些扫描可能要花费20分钟直至1个小时的时间（每次PET检查，往往只会对大约体长的四分之一进行成像）。生产与配送手段医用回旋加速器（medical cyclotron）之中用于产生18F的高能粒子轰击条件（bombardment conditions）会破坏像脱氧葡萄糖（deoxyglucose，脱氧葡糖）或葡萄糖之类的有机物分子，因此必须首先在回旋加速器之中制备出氟化物形式的放射性18F。这可以通过采用氘核（deuterons，重氢核）轰击氖-20来完成；但在通常情况下，18F的制备是这样完成的：采用质子轰击富18O水（18O-enriched water，重氧水），导致18O之中发生(p,n)核反应（中子脱出，或者说散裂（spallation），从而产生出具有放射性核素标记的氢氟酸（hydrofluoric acid，HF）形式的18F。接着，将这种不断快速衰变的18F -（18-氟化物，18-fluoride）收集起来，并立即在“热室（hot cell）（放射性同位素化学制备室）”之中，借助于一系列自动的化学反应（亲核取代反应或亲电取代反应），将其连接到脱氧葡萄糖之上。之后，采取尽可能最快的方式，将经过放射性核素标记的FDG化合物（18F的衰变限定其半衰期仅为109.8分钟）迅速运送到使用地点。为了将PET扫描检查项目的地区覆盖范围拓展到那些距离生产这种放射性同位素标记化合物的回旋加速器数百公里之遥的医学分子影像中心，其中可能还会使用飞机空运服务。最近，用于制备FDG，备有自屏蔽（integral shielding，一体化屏蔽，一体化防护）以及便携式化学工作站（portable chemistry stations）的现场式回旋加速器（on-site cyclotrons），已经伴随PET扫描仪落户到了偏远医院。这种技术在未来具有一定的前景，有望避免因为要将FDG从生产地点运送到使用地点而造成的忙乱。