模糊线性规划

5模糊数学方法模糊子集与隶属函数设/是论域，称映射A（x）：确定了一个U上的模糊子集A,映射4（兀）称为A的 隶属函数，它表示r对4的隶属程度.使4（兀）=05的点兀称为A的过渡点，此点最 具模糊性. 上当映射A（Q只取0或1时，模糊子集4就是经 典子集，而A&）就是它的特征函数可见经典子 集就是模糊子集的特殊情形.例 设论域 u = xx （140）*2 （150），兀 3（160），兀 4 （170）,心（180），x6 （190）（单位：cm）表示人的身高, 那么U上的一个模糊集“高个子”（A）的隶属函数 4（兀）可定义为A(x)=x-140190-140A(x)=兀100200-100也可用Zadeh表示法：00.20.40.60.81A = + + + + + 兀1兀2兀3“4“5兀6匹+空+墜+兰+竺+空还可用向量表示法:A = (0,0.2,04,0.6,08,1)另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”“中年人”等模糊子集.从上例可看出：(1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集， 而经典子集是有限的；(2) 一个横糊子集的隶属函数的确定方法是 主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一， 模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观 的方法.模糊线性规划普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件 可能带有弹性，目标函数可能不是单一的， 必须借助模糊集的方法来处理.模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.设普通线性规划的标准形式为 min / 淞 q 右（兀）Sx 00（兀）=CiX + +tt（X）= atiX + 勺2%2 + (1)s.t./V iX=%，！4I 1. 2 .，TYI. +叭若约束条件带有弹性，即右端常数优可能取（仇一，仇+4）内的某一个值，这里的o,它是决策人根据实 际问题选择的伸缩指标.这样的规划称为模糊线 性规划.把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为min f = t0（x）（2） vx 0豎夢的瞪bj, tZ.J表示当 = 0（普通约束）时,t.（x）=b.； 当/oi模糊约棗）打,（X）取0- , bi + %）内的某一个鹿请注意模糊线性规划（2）与普通线性规划min / =g)(3)bj dj 5 ti (x) 5 bj + d- s.tAx 0的区别.下面将约束条件和目标函数模糊化.将中带有弹性的约束条件( 0)的隶属函 数定义为A. (x) = 1-, bi _ dt (x) 2 2 - dft (x) - b0,它为模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩 指标，必也可由决策人确定.定义模糊线性规划中目标函数的隶属函数 为 G,Cr) = Q遁，/0-0r0(x)2 o (x) + 血肚局要求模糊线性规划的模糊最优解r*,则要 求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能 达到最大，即求疋满足A. (x)2G(x)2,且使2达到最大值，相当于求解普通线性规划问题 max 2o(x) + d?o2 0(4)设普通线性规划的最优解为兀2，则 模糊线性规划(2)的模糊最优解为疋，最优值 为 4 (x*).所以，求解模糊线性规划(2)相当于求 解普通线性规划，(3)，(4).此外，再补充两点说明：若要使某个模糊约束条件尽可能满足，只需将其伸缩指标降低直至为0；若模糊线性规划(2)中的目标函数为 求最大值，或模糊约束条件为近似大(小)于 等于，其相应的隶属函数可类似地写出.例1解模糊线性规划问题（P129）:max / = 4x2 + 6花，x1 + x2 + x3 82,I s.t. 0.多目标线性规划在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最 好的满足,这便是多目标规划.若目标函数和约束 条件都是线性的，则为多目标线性规划.一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最 优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解.例2解多目标线性规划问题(P131):min 齐=X + 2x2 - x3;max f2 = 2xr + 3x2 + x3;xr +3x2 +2x3 6,x2 9 x3 0.解普通线性规划问题：min 齐= + 2x2 _ x3； + 3%2 + 2兀3 10, S.t 0. J得最优解为xx = 0, x2= 2, x3 = 2,最优值 为2,此时几=&解普通线性规划问题:fmax f2 = 2x1 + 3x2 + x3;=+3%2+2%310,S.t.得最优解为可二10,x2=0,x3= 0,最优 值为20,此眩线性规划问题的最优解为xx = 0, x2 = 2, x3 = 2， 最优值为2,此时/*2=8.线性规划问题的最优解为xx = 10, x2 = 0, x3 = 0， 最优值为20,此时/1=10同时考虑两个目标，合理的方案是使 几曰 2,10 L/2e & 20 ， 可取伸缩指标分别为 二 10 - 2 = & = 20 - 8 = 12.如果认为目标更重要，可单独缩小必；如果 认为目标/*2更重要，可单独缩小叭再分别将两个目标函数模糊化，变为解普通 线性规刼问艇max 2,S.tAx1 + 2x2 - x3 + 22 & X, +3x? +2x3 6f2= 14.86.得最优解为xx = 6.29, x2= 0.29,兀3 = 1.43, 2 = 0.57.