高考数学复习:第五章 :第二节 等差数列及其前n项和突破热点题型

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精品资料第二节等差数列及其前n项和 考点一等差数列的判定与证明 来源:例1已知数列an中,a1,an2(n2,nN*),数列bn满足bn(nN*)(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由自主解答(1)证明:an2(n2,nN*),bn,bn1bn1.又b1,数列bn是以为首项,以1为公差的等差数列(2)由(1)知bnn,则an11.设f(x)1,则f(x)在区间和上为减函数,当n3时,an取得最小值1,当n4时,an取得最大值3.【方法规律】等差数列的判定方法(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an1anan2(n3,nN*)成立;(3)通项公式法:验证anpnq;(4)前n项和公式法:验证SnAn2Bn.注意:在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断若数列an满足an2an12n1(nN*,n2),a327.(1)求a1,a2的值;(2)记bn(ant)(nN*),是否存在一个实数t,使数列bn为等差数列?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由解:(1)由a327,272a2231,得a29,由92a1221,得a12.(2)假设存在实数t,使得bn为等差数列则2b2b1b3,即2(9t)(2t)(27t),t1.bn(an1)bnbn1(an1)(an11)(2an12n11)(an11)an11an11.存在一个实数t1,使数列bn为等差数列高频考点考点二 等差数列基本量的计算1等差数列基本量的计算是高考的常考内容,多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中,属容易题2高考对等差数列基本量计算的考查常有以下几个命题角度:(1)化基本量求公差d或项数n;(2)化基本量求通项;(3)化基本量求特定项;(4)化基本量求前n项和例2(1)(2012福建高考)等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4(2)(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9()A6 B4 C2 D2(3)(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m()A3 B4 C5 D6(4)(2012广东高考)已知递增的等差数列an满足a11,a3a4,则an_.自主解答(1)法一:设等差数列an的公差为d,则即解得d2.法二:由等差中项的性质知,a35,又a47,公差da4a3752.(2)由等差数列前n项和公式知S84(a1a8)4(a7a2),又S84a3,4(a7a2)4a3,2a2a3,公差d2.a9a72d6.(3)法一:Sm12,Sm0,Sm13,amSmSm12,am1Sm1Sm3,公差dam1am1,由Snna1dna1,得由得a1,代入可得m5.法二:数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列也为等差数列,即0,解得m5.经检验为原方程的解(4)由a3a4,得到12d(1d)24,即d24,因为an是递增的等差数列,所以d2,故an2n1.答案(1)B(2)A(3)C(4)2n1等差数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求公差d或项数n.通项公式和前n项和公式是解决此类问题的基础和核心,在求解时,一般要运用方程思想(2)化基本量求通项a1和d是等差数列的两个基本元素,只要把它们求出来,其余的元素便可以求出(3)化基本量求特定项利用通项公式或等差数列的性质求解(4)化基本量求前n项和直接将基本量代入前n项和公式求解,或利用等差数列的性质求解来源:1记等差数列an的前n项和为Sn.若a1,S420,则S6()A16 B24 C36 D48解析:选D设公差为d,由得则故S66348.来源:2已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足1,则数列an的公差为()A. B1 C2 D3解析:选CSn,由1,得1,即a3a22,数列an的公差为2.3已知数列an中,a12,当n2时,an,则数列an的通项公式为_解析:当n2时,an1,两边取倒数,得,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以(n1)1(n1),所以an(nN*)答案:an(nN*)考点三等差数列的性质 例3(1)在等差数列an中,已知a4a816,则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176(2)设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn324(n6),求数列an的项数及a9a10.自主解答(1)S1188.(2)由题意知a1a2a636,anan1an2an5180,得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216,a1an36,又Sn324,18n324,n18.a1an36,n18,a1a1836,从而a9a10a1a1836.答案(1)B【方法规律】应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列an中,若mnpq2k,则amanapaq2ak是常用的性质,本例(1)(2)都用到了这个性质(2)掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条件及应用方法,认真分析项数、序号、项的值的特征,这是解题的突破口1已知等差数列an的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40解析:选A设这个数列有2n项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25152n,故2n10,即数列的项数为10.2已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_.解析:S10,S20S10,S30S20成等差数列,且S1010,S2030,S20S1020,S30301021030,S3060.答案:60考点四等差数列前n项和的最值 例4已知在等差数列an中,a131,Sn是它的前n项的和,S10S22.(1)求Sn;(2)这个数列前多少项的和最大?并求出这个最大值自主解答(1)S10a1a2a10,S22a1a2a22,又S10S22,a11a12a220,即0,即a11a222a131d0.又a131,d2.Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一:由(1)知,Sn32nn2(n16)2256,当n16时,Sn有最大值256.法二:由(1)知,令(nN*),解得n,nN*,n16时,Sn有最大值256.【互动探究】若将本例中的“S10S22”改为“S10S15”,则该数列的前多少项的和最大?解:S10S15,a11a12a13a14a150,即5a130,a130.又此等差数列首项为正,当n12或13时,Sn有最大值 【方法规律】求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解(2)通项公式法:求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地,等差数列an中,若a10,且SpSq(pq),则若pq为偶数,则当n时,Sn最大;若pq为奇数,则当n或n时,Sn最大已知等差数列an中,Sn为前n项和,a312,且S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)前几项和最大?并说明理由解:(1)因为a3a12d12,所以a1122d,所以即解得d3.故公差d的取值范围为.(2)法一:前6项和最大由d0可知an为递减数列,因此,在1n12中,必存在一个自然数n,使得an0,an10,此时对应的Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于于是a70,因此S6最大法二:前6项和最大由d0可知an是递减数列,令可得来源:由于d3,可得所以5.5n0,d0,则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;若a10,则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.4种方法等差数列的判断方法(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法;(4)前n项和公式法
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