资源描述
精品资料第二节一元二次不等式及其解法 高频考点考点一 一元二次不等式的解法来源:1一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题来源:2高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求参数例1(1)(2013·广东高考)不等式x2x2<0的解集为_(2)(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时，f(x)x24x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_(3)(2013·重庆高考)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.自主解答(1)由x2x2<0，得(x1)(x2)<0，2<x<1，即不等式x2x2<0的解集为x|2<x<1(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又当x<0时，x>0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x<0)，f(x)当x>0时，由f(x)>x，得x24x>x，解得x>5；当x0时，f(x)>x无解；当x<0时，由f(x)>x，得x24x>x，解得5<x<0.综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(5,0)(5，)(3)法一：不等式x22ax8a2<0的解集为(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的两根由韦达定理知x2x115，又a>0，a.法二：由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，a>0，不等式x22ax8a2<0的解集为(2a,4a)，又不等式x22ax8a2<0的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a.答案(1)x|2<x<1(2)(5,0)(5，)(3)A一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集(2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解(3)已知一元二次不等式的解集求参数根据根与系数的关系求解1已知关于x的不等式x2ax2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax2a>0在R上恒成立，即(a)28a<0，0<a<8，即a的取值范围是(0,8)答案：(0,8)2已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：f(x)x2axb的值域为0，)，0，b0，f(x)x2ax2.又f(x)<c的解集为(m，m6)，m，m6是方程x2axc0的两根由一元二次方程根与系数的关系，得解得c9.答案：93解关于x的不等式：x2(3a)x3a>0.解：x2(3a)x3a>0，(x3)(xa)>0.当a<3时，x<a或x>3，不等式的解集为x|x<a或x>3；当a3时，不等式为(x3)2>0，不等式的解集为x|xR且x3；当a>3时，x<3或x>a，不等式的解集为x|x<3或x>a考点二一元二次不等式的恒成立问题 例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围自主解答(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，显然1<0；若m0，则4<m<0.所以m的取值范围为(4,0(2)要使f(x)<m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm<6恒成立(x1,3)，又因为x2x12>0，所以m<.令y，因为t2在1,3上是增函数，所以y在1,3上是减函数因此函数的最小值ymin.所以，m的取值范围是.【互动探究】在本例条件下，求使f(x)<0，且|m|1恒成立的x的取值范围解：将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2x)m1<0.令g(m)(x2x)m1，m1,1则即解得<x<，即x的取值范围为. 【方法规律】不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，来源:即4a24(2a)0或解得3a1.故a的取值范围是3,1考点三一元二次不等式的实际应用 例3某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？自主解答设每件提高x元(0x10)，则每件获利润(2x)元，每天可销售(10010x)件，又设每天获的利润为y元，由题意有y(2x)(10010x)10x280x200.当x4时，y取得最大值360.当售价定为每件14元时，每天所获利润最大，为360元要使每天所获的利润在300元以上，则有10x280x200>300，即x28x10<0，解得4<x<4.故每件定价在(4)元到(4)元之间不含(4)元和(4)元时，才能保证每天所获的利润在300元以上【方法规律】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解：(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)·(10x)(0<x<10)(2)原计划税收为200a·10%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a×83.2%，化简得x240x840，来源:解得42x2.又0<x<10，0<x2.即x的取值范围为(0,2课堂归纳通法领悟1个过程一元二次不等式的求解过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)2种思想分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题3个注意点解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况来源:(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述
展开阅读全文