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精品资料第二节导数的应用(一) 考点一利用导数研究函数的单调性 例1(2013重庆高考改编)设f(x) a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间自主解答(1)因为f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0(f(x)0)当x(0,1)，f(x)0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当x(1，)，f(x)0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9 (3)(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；求函数f(x)的极值自主解答(1)当x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(，2)上是增函数当2x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(2,1)上是减函数当1x2时，1x0，f(x)2时，1x0.(1x)f(x)0，即f(x)在(2，)上是增函数综上：f(2)为极大值，f(2)为极小值(2)f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，即ab6，又a0，b0，ab2，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.(3)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值答案(1)D(2)D函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反1(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1 处取到极大值 C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析：选C当k1时，f(x)(ex1)(x1)，0,1是函数f(x)的零点当0x1时，f(x)(ex1)(x1)1时，f(x)(ex1)(x1)0,1不会是极值点当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是0,1，但是当0x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C.2已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，且对任意的x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)a，x0，当a0时，f(x)0时，令f(x)0得0x0得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值综上所述，当a0时f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，由(1)可知a1，f(x)x1ln x.又f(x)bx2，x1ln xbx2，即1b.令g(x)1，g(x)，当0xe2时，g(x)e2时，g(x)0，即g(x)在(e2，)上为增函数，g(x)在xe2处取得最小值，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的取值范围为.考点三利用导数研究函数的最值问题 例3(2013广东高考)设函数f(x)(x1)exkx2(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值M.自主解答(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)令f(x)0，得x10，x2ln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0来源:0来源:f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，令f(x)0，得x10，x2ln(2k)，令g(k)ln(2k)k，则g(k)10，所以g(k)在上递增，所以g(k)ln 21ln 2ln e0，从而ln(2k)k，所以ln (2k)0，k，所以当x(0，ln(2k)时，f(x)0；所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3令h(k)(k1)ekk31，则h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，则(k)ek3e30，所以(k)在上递减，而(1)(e3)0，当k(x0,1)时，(k)0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，当且仅当k1时等号成立综上，函数f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3.【方法规律】求函数f(x)在a，b上最值的方法(1)若函数f(x)在a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解：(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.来源:(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0极大值3a1极小值a2(3a)4a3来源:比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3个注意点利用导数求极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f(x0)0时，x0不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论.
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