新教材高中数学北师大版必修四教学案：第三章 167;2　第2课时 两角和与差的正切函数 Word版含答案

（新教材）北师大版精品数学资料 第 2 课时 两角和与差的正切函数 核心必知 两角和与差的正切公式 名称 公式 成立条件 两角和 的正切 (T) tan()tan tan 1tan tan ，k2(kZ Z) 两角差 的正切 (T) tan()tan tan 1tan tan ，k2(kZ Z) 问题思考 对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？ 提示：常见的变形公式有： tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan tan tan()tan()； tan()tan tan tan tan tan()； 1tan tan tan tan tan（）； 1tan tan tan tan tan（）. 讲一讲 1计算： (1)1tan 751tan 75_； (2)tan 10tan 50 3tan 10tan 50_ 尝试解答 (1)法一：tan 75tan(4530) tan 45tan 301tan 45tan 301331333 33 32 3 1tan 751tan 751（2 3）12 3313 333. 法二：原式tan 45tan 751tan 45tan 75 tan(4575)tan 3033. (2)tan 10tan 501tan 10tan 50tan 60， 原式tan 60(1tan 10tan 50) 3tan 10tan 50 3 3tan 10tan 50 3tan 10tan 50 3. 利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见 1tan 45，及变形公式 tan tan tan()(1tan tan )等 练一练 1计算： (1)sin 15cos 15sin 15cos 15_； (2)(1tan 22)(1tan 23)_ 解析：(1)原式tan 151tan 151tan 15tan 45tan 45tan 151 tan(1545) tan 60 3. (2)原式1tan 23tan 22tan 22tan 23 1tan(2223)(1tan 22tan 23)tan 22tan 23 11(1tan 22tan 23)tan 22tan 232. 答案：(1) 3 (2)2 讲一讲 2已知 tan()25，tan(4)14，求 tan(4) 尝试解答 tan()25，tan(4)14， tan(4)tan()(4) tan（）tan（4）1tan（）tan（4）251412514322. “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角 2已知 sin()35，tan 12，并且是第二象限的角，求 tan()的值 解：sin()sin 35， sin 35. 又是第二象限角， cos 1sin245， tan sin cos 34，又 tan 12， tan()tan tan 1tan tan 34121（34）122. 讲一讲 3已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2的值 尝试解答 tan()tan tan 1tan tan 12， tan （17）1tan （17）12. tan 13. tan 41tan 130. 又(0，)， (0，4) 2(0，2) (0，)，tan 17， (2，) 20. tan(2)tan() tan（）tan 1tan（）tan 12131121310， 2 34. 在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应 练一练 3若 tan ，tan 是方程x23 3x40 的两根，且，(2，2)，则_ 解析：由题意得 tan tan 3 30，tan 0，tan 0，(2，0)， (，0)而 tan()tan tan 1tan tan 3 314 3，23. 答案：23 已知 tan 1，sin(2)3sin ，试求 tan()的值 错解 由 tan 1，可设4， 代入 sin(2)3sin ， 得 cos 3sin ， 即 tan 13. tan()tan(4)tan 4tan 1tan 4tan 1131132. 错因 上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法本题应注意从 tan 1 解得k4(kZ Z)，从而可把代入 sin(2)3sin 得解另外，若注意到角的变化：2()，()，仍可得解 正解 法一：由 tan 1，得k4(kZ Z)， 故 sin(2)sin(2)cos . sin(2)3sin ， tan 13. tan()tan(4)tan 4tan 1tan 4tan 1131132. 法二：由 sin(2)3sin ， 可得 sin()3sin() 由两角和、差的正弦公式得 2cos()sin sin()cos . 2tan tan() tan()2. 1tan 195的值为( ) A2 3 B2 3 C. 31 D. 32 解析：选 B tan 195tan 15tan(4530) 1tan 301tan 301331332 3. 2已知(2，)，sin 35，则 tan(4)等于( ) A.17 B7 C17 D7 解析：选 A sin 35，(2，)， cos 1sin245. tan sin cos 34， tan(4)tan tan 41tan tan 417. 3已知 tan tan 2，tan()4，则 tan tan ( ) A2 B1 C.12 D4 解析：选 C 由 tan()tan tan 1tan tan ，得 tan tan 1tan tan tan（）12412. 4已知 tan(4)2，则 tan 等于_ 解析：tan(4)2， tan 11tan 2， 解得 tan 3. 答案：3 5 (新课标全国)设为第二象限角， 若 tan412， 则 sin cos _ 解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力 法一：由在第二象限，且 tan412，因而 sin455，因而 sin cos 2 sin4105. 法二：如果将 tan412利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.又因为在第二象限，则 sin 110，cos 310，从而 sin cos 210105. 答案：105 6已知 tan 13，cos 55. 若 090180，求的值 解：cos 55，90180， sin 1cos2255. tan sin cos 2，又 tan 13. tan()tan tan 1tan tan 1. 090180， 90270. 135. 一、选择题 1.tan 51tan 91tan 51tan 9等于( ) Atan 42 B.33 C. 3 D 3 解析：选 C 原式tan(519)tan 60 3. 2在ABC中，tan Atan B 3 3tan Atan B，则C等于( ) A.3 B.23 C.6 D.4 解析：选 A 已知条件可化为 tan(AB)(1tan Atan B) 3(tan Atan B1) tan(AB)tan C 3. tan C 3，即C3. 3已知 tan()5，tan()3，则 tan 2( ) A47 B.47 C.18 D18 解析：选 A tan 2tan()() tan（）tan（）1tan（）tan（） 5315347. 4已知 tan()25，tan414，则 tan4( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16 解析：选 C 4()4， tan4tan（）4 tan（）tan（4）1tan（）tan（4）322. 二、填空题 5.tan 20tan（50）1tan 20tan 50_ 解析：原式tan 20tan 501tan 20tan 50 1tan 50tan 201tan 20tan 501tan（5020） 1tan 30 3. 答案： 3 6.1 3tan 753tan 75_ 解析：法一：原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan(45)1. 法二：原式1tan 60tan 75tan 60tan 75 1tan（6075）1tan 1351. 答案：1 7若A18，B27，则(1tan A)(1tan B)的值是_ 解析：原式tan Atan Btan Atan B1tan(1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712. 答案：2 8 已知tan 和tan(4)是方程x2pxq0的两个根， 则p，q满足关系式为_ 解析：由题意知， tan tan(4)p， tan tan(4)q. 又44， tan(4) tan tan（4）1tan tan（4）p1q1. pq10. 答案：pq10 三、解答题 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点已知A，B的横坐标分别为210，2 55. (1)求 tan()的值； (2)求2的值 解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知 cos 210，cos 2 55， 因为锐角，故 sin 0. 从而 sin 1cos27 210. 同理可得 sin 55. 因此 tan 7，tan 12. 所以 tan()tan tan 1tan tan 71217123. (2)tan(2)tan()3121（3）121. 又 02，02，故 0232. 从而由 tan(2)1，得234. 10是否存在锐角和，使得下列两式： (1)223； (2)tan 2tan 2 3同时成立 解：假设存在符合题意的锐角和， 由(1)知23， tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3. 由(2)知 tan 2tan 2 3， tan 2tan 3 3. tan 2，tan 是方程x2(3 3)x2 30 的两个根， 得x11，x22 3. 02，则 0tan 21， tan 21，即 tan 22 3，tan 1. 又02，则4，代入(1)，得6， 存在锐角6，4使(1)(2)同时成立