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（新教材）北师大版精品数学资料第二章2.6距离的计算一、选择题1以下说法错误的是()A两平行平面之间的距离就是一个平面内任一点到另一平面的距离B点P到面的距离公式是d|，其中A为面内任一点，n为面的法向量C点P到直线l的距离公式是d|，其中A为直线l上任一点，a为l的法向量D异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|的最小值，就是l1与l2的距离答案C解析选项C中，a必须与l以及共面时，此公式才成立2二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A B C2D答案C解析如图所示，|1，由得|2222|2|2|2232cos(180120)4，|2.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA11则点A到平面A1BC的距离为()ABCD答案B4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是()ABC3D2答案A5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()ABCD答案D解析由A1B1平面D1EF知，点G到平面D1EF的距离即为直线A1B1 上任一点到平面D1EF的距离，可求点A1或B1到平面D1EF的距离6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是()ABCD答案D解析如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)所以(1,0,1)，(，0，)所以.又直线AD1与MN不重合，所以.又MN平面ACD1，所以MN平面ACD1.因为(1,0,1)，(0,1，1)，(1,1,0)设平面ACD1的法向量n(x，y，z)，则所以 所以xyz.令x1，则n(1,1,1)又因为(1,1，)(1,0,0)(0,1，)，所以|.所以点M到平面ACD1的距离为.简解：延长NM交CB的延长线于H，连AH、D1H，MH平面ACD1，M到平面ACD的距离即为H到平面ACD1的距离则VD1AHCVHACD1hh.二、填空题7正方形ABCD与ABEF的边长都为a，若二面角EABC的大小为30，则EF到平面ABCD的距离为_答案a解析EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，dA8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为_答案解析以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(0，0)，E(1，1)，B(1,1,0)(0，1)，(1，0)设平面AEC1F的法向量为n(1，)，则n0，n0.n(1,2，1)又(0,1,0)，点B到平面AEC1F的距离d.三、解答题9如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.求BF的长解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设F(0,0，z)，AEC1F为平行四边形，由得(2,0，z)(2,0,2)z2，F(0,0,2)，(2，4,2)于是|2，即BF的长为2.10已知三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，问a为何值时，点C到平面AB1D的距离为1.解析建立如图所示的空间直角坐标系由题设可知A(a，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，)，于是有(a，a)，(0，a，)，(a，0)设n(x，y，z)为平面AB1D的法向量，则.令y1，可得n(，1,2)所以点C到平面AB1D的距离d|A令a1，解得a2.即a2时，点C到平面AB1D的距离为1.一、选择题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()ABCD答案B解析以、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d.2已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为()A10B3CD答案D解析(1,2，4)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以P到的距离为|.3空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P到Q的最小距离为()ABaCaDa答案B解析如图，求PQ的最小值，需先将PQ表示出来，再用代数方法确定最值由题设可知，、两两夹角均为60.设，则()(1).|22(1)222(1)2(1)22a2a22a22a22a2a2a2a22a2a2a2(221)a2()2()2.|A4已知平面平面，线段AB、CD夹在、之间，AB13，CD5，且它们在内的射影之差为2，则和之间的距离为()A3B4C5D6答案C解析如图所示，设A、C在平面上的射影为A、C，则设、之间的距离AACCa，且BA、DC分别为AB、CD在内的射影在RtAAB中，AB13，则AB.在RtCCD中，CD5，则CD.又CD与AB相差为2，即ABCD2，a5，平面和之间的距离为5.二、填空题5在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_答案解析由已知AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，(2,0，2)，(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则n(1,0,1)，又(2,0,0)，d.简解：由题意易知AD平面PAB且AD平面PBC，取PB的中点H，则AH平面PBC且AHPB，故AD到平面PBC的距离为.6在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_答案解析解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有解得n，则d.解法二：VB1ABC1VABB1C1，VABB1C1SBB1C1AB，又VB1ABC1SABC1h，SABC1AB，h.简解：由题意可知B1到平面ABC的距离等于C到平面ABC的距离由VC1ABCVCABC1知，h，即B1到平面ABC的距离为.三、解答题7如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；(3)求点B到平面OCD的距离解析方法1(综合法)：(1)取OB中点E，连接ME，NE，MEAB，ABCD，MECD又NEOC，MENEE，平面MNE平面OCD又MN平面MNE，MN平面OCD(2)CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作APCD于点P，连接MP，OA平面ABCD，CDMP，ADP，DP.MD，cosMDP，MDCMDP.所以，AB与MD所成角的大小为.(3)AB平面OCD，点B和点A到平面OCD的距离相等连接OP，过点A作AQOP于点Q.APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD又AQOP，AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离OP，APDP，AQ，所以，点B到平面OCD的距离为.方法2(向量法)：作APCD于点P，如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，0)，D(，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1，0)(1)(1，1)，(0，2)，(，2)设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即，取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0.又MN平面OCD，MN平面OCD(2)设AB与MD所成角为，(1,0,0)，(，1)，cos，.AB与MD所成角的大小为.(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量n(0,4，)上的投影的绝对值由(1,0，2)，得d.所以，点B到平面OCD的距离为.8(2014北京理)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解析(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22，因为n是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为(，)所以PH2.
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