高中数学北师大版必修四教学案：第三章 167;2　第2课时 两角和与差的正切函数 Word版含答案

第 2 课时两角和与差的正切函数核心必知两角和与差的正切公式名称公式成立条件两角和的正切(T)tan()tantan1tantan，k2(kZ Z)两角差的正切(T)tan()tantan1tantan，k2(kZ Z)问题思考对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？提示：常见的变形公式有：tantantan()(1tantan)；tantantan()(1tantan)；tantantantantan()tan()；tan()tantantantantan()；1tantantantantan（）；1tantantantantan（）.讲一讲1计算：(1)1tan 751tan 75_；(2)tan 10tan 50 3tan 10tan 50_尝试解答(1)法一：tan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301331333 33 32 31tan 751tan 751（2 3）12 3313 333.法二：原式tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan 3033.(2)tan 10tan 501tan 10tan 50tan 60，原式tan 60(1tan 10tan 50) 3tan 10tan 50 3 3tan 10tan 50 3tan 10tan 50 3.利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见 1tan 45，及变形公式 tantantan()(1tantan)等练一练1计算：(1)sin 15cos 15sin 15cos 15_；(2)(1tan 22)(1tan 23)_解析：(1)原式tan 151tan 151tan 15tan 45tan 45tan 151tan(1545)tan 60 3.(2)原式1tan 23tan 22tan 22tan 231tan(2223)(1tan 22tan 23)tan 22tan 2311(1tan 22tan 23)tan 22tan 232.答案：(1) 3(2)2讲一讲2已知 tan()25，tan(4)14，求 tan(4)尝试解答tan()25，tan(4)14，tan(4)tan()(4)tan（）tan（4）1tan（）tan（4）251412514322.“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角2已知 sin()35，tan12，并且是第二象限的角，求 tan()的值解：sin()sin35，sin35.又是第二象限角，cos1sin245，tansincos34，又 tan12，tan()tantan1tantan34121（34）122.讲一讲3已知 tan()12，tan17，且，(0，)，求 2的值尝试解答tan()tantan1tantan12，tan（17）1tan（17）12.tan13.tan41tan130.又(0，)，(0，4)2(0，2)(0，)，tan17，(2，)20.tan(2)tan()tan（）tan1tan（）tan12131121310，234.在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应练一练3若 tan，tan是方程x23 3x40 的两根，且，(2，2)，则_解析：由题意得 tantan3 30，tan0，tan0，(2，0)，(，0)而 tan()tantan1tantan3 314 3，23.答案：23已知 tan1，sin(2)3sin，试求 tan()的值错解由 tan1，可设4，代入 sin(2)3sin，得 cos3sin，即 tan13.tan()tan(4)tan4tan1tan4tan1131132.错因上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法本题应注意从 tan1 解得k4(kZ Z)，从而可把代入 sin(2)3sin得解另外，若注意到角的变化：2()，()，仍可得解正解法一：由 tan1，得k4(kZ Z)，故 sin(2)sin(2)cos.sin(2)3sin，tan13.tan()tan(4)tan4tan1tan4tan1131132.法二：由 sin(2)3sin，可得 sin()3sin()由两角和、差的正弦公式得2cos()sinsin()cos.2tantan()tan()2.1tan 195的值为()A2 3B2 3C. 31D. 32解析：选 Btan 195tan 15tan(4530)1tan 301tan 301331332 3.2已知(2，)，sin35，则 tan(4)等于()A.17B7C17D7解析：选 Asin35，(2，)，cos 1sin245.tansincos34，tan(4)tantan41tantan417.3已知 tantan2，tan()4，则 tantan()A2B1C.12D4解析：选 C由 tan()tantan1tantan，得tantan1tantantan（）12412.4已知 tan(4)2，则 tan等于_解析：tan(4)2，tan11tan2，解得 tan3.答案：35(新课标全国)设为第二象限角，若 tan4 12，则 sincos_解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力法一： 由在第二象限， 且 tan4 12， 因而 sin4 55， 因而 sincos 2 sin4 105.法二：如果将 tan4 12利用两角和的正切公式展开，则tan11tan12，求得 tan13.又因为在第二象限，则 sin110，cos310，从而 sincos210105.答案：1056已知 tan13，cos55.若 090180，求的值解：cos55，90180，sin 1cos2255.tansincos2，又 tan13.tan()tantan1tantan1.090180，90270.135.一、选择题1.tan 51tan 91tan 51tan 9等于()Atan 42B.33C. 3D 3解析：选 C原式tan(519)tan 60 3.2在ABC中，tanAtanB 3 3tanAtanB，则C等于()A.3B.23C.6D.4解析：选 A已知条件可化为 tan(AB)(1tanAtanB) 3(tanAtanB1)tan(AB)tanC 3.tanC 3，即C3.3已知 tan()5，tan()3，则 tan 2()A47B.47C.18D18解析：选 Atan 2tan()()tan（）tan（）1tan（）tan（）5315347.4已知 tan()25，tan4 14，则 tan4 ()A.1318B.1322C.322D.16解析：选 C4()4 ，tan4 tan （）4tan（）tan（4）1tan（）tan（4）322.二、填空题5.tan 20tan（50）1tan 20tan 50_解析：原式tan 20tan 501tan 20tan 501tan 50tan 201tan 20tan 501tan（5020）1tan 30 3.答案：36.1 3tan 753tan 75_解析：法一：原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75tan(3075)tan(45)1.法二：原式1tan 60tan 75tan 60tan 751tan（6075）1tan 1351.答案：17若A18，B27，则(1tanA)(1tanB)的值是_解析：原式tanAtanBtanAtanB1tan(1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712.答案：28 已知tan和 tan(4)是方程x2pxq0的两个根， 则p，q满足关系式为_解析：由题意知，tantan(4)p，tantan(4)q.又44，tan(4)tantan（4）1tantan（4）p1q1.pq10.答案：pq10三、解答题9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点已知A，B的横坐标分别为210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求2的值解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos210，cos2 55，因为锐角，故 sin0.从而 sin 1cos27 210.同理可得 sin55.因此 tan7，tan12.所以 tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()3121（3）121.又 02，02，故 0232.从而由 tan(2)1，得234.10是否存在锐角和，使得下列两式：(1)223；(2)tan2tan2 3同时成立解：假设存在符合题意的锐角和，由(1)知23，tan(2)tan2tan1tan2tan 3.由(2)知 tan2tan2 3，tan2tan3 3.tan2，tan是方程x2(3 3)x2 30 的两个根，得x11，x22 3.02，则 0tan21，tan21，即 tan22 3，tan1.又02，则4，代入(1)，得6，存在锐角6，4使(1)(2)同时成立