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精编北师大版数学资料第三章3.4第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征一、选择题1(2013·广东省中山一中期中)方程(2xy2)0表示的曲线是()A一个点与一条直线B两条射线和一个圆C两个点D两个点或一条直线或一个圆答案B解析原方程等价于x2y210，或，故选B2动点在曲线x2y21上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21D(x)2y21答案C解析设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有x，y.x12x3，y12y.(x1，y1)在x2y21上，xy1(2x3)2(2y)21.3“点M在曲线y|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y|x|的曲线如图(2)“点M在曲线y|x|上”“点M到两坐标轴距离相等”故选B4若方程x2y2k0与2xyk0所表示的两条直线的交点在方程x2y29的曲线上，则k等于()A±3B0C±2D 一切实数答案A解析两直线的交点为(0，k)，由已知点(0，k)在曲线x2y29上，故可得k29，k±3.5设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆答案A解析本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y 1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1BD1，AP2BD1.AP1AP2A，直线AP1与AP2确定一个平面，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1平面，P1P2BD1，又BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，P1P2BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，P点的轨迹为B1C二、填空题7M为直线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，则动点P的轨迹方程为_答案8x4y30解析设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得，.因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所以2×30，即8x4y30，从而点P的轨迹方程为8x4y30.8已知圆的方程为x2y24，动抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_答案1解析设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0xy0y4(|x0|2)，以l为准线过A，B两点的抛物线焦点F(x，y)，A，B到l距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义，|FA|FB|d1d2，即4>|AB|，F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，c1，b23，方程为1.三、解答题9设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程解析如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，从而由N(x3，y4)在圆上，得(x3)2(y4)24.因此所求P点的轨迹方程为(x3)2(y4)24，但应除去两点：和.10已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在椭圆上运动，B为(4,0)，M点是线段BP上的靠近点P的三等分点，求点M的轨迹方程分析(1)设右焦点为(c,0)，由点到直线的距离公式可求出c，又b1，则可求得a，即可求出椭圆的标准方程(2)设P(x0，y0)，M(x，y)由题意可知，进而可得(x，y)与(x0，y0)之间的对应关系利用相关点法，结合点P在椭圆上，代入椭圆方程即可求出M点的轨迹方程解析(1)设右焦点为(c,0)，因为右焦点到直线xy20的距离为3.所以3，即c2±3，所以c或c5(舍)又由b1，得a23.因此所求椭圆方程为y21.(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，由题意可知，所以(xx0，yy0)(4x0，y0)，所以又由P在椭圆上，则有()21，即1，故点M的轨迹方程为1.一、选择题1方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形是()A前后两者都是一条直线和一个圆B前后两者都是两点C前者是一条直线和一个圆，后者是两点D前者是两点，后者是一条直线和一个圆答案C解析x(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21.x2(x2y21)20表示点(0,1)、(0，1)2方程4x2y26x3y0表示的图形是()A直线2xy0B直线2xy30C直线2xy0或直线2xy30D直线2xy0和直线2xy30答案C解析4x2y26x3y(2xy)(2xy)3(2xy)(2xy)(2xy3)，原方程表示两条直线2xy0和2xy30.3已知动点P(x，y)满足10|3x4y|，则P点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D两相交直线答案A解析条件化为2，即为点P(x，y)到定点F(1,2)的距离与到定直线l：3x4y0的距离之比为，又点F不在直线l上，故根据椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆4已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|4，ABC外心的轨迹S的方程为()Ay22xBx2y24Cy24xDx24y答案C解析设ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a4)，由G点在BC的垂直平分线上知ya2，|GA|2|GB|2，(x2)2y2x2(ya)2，整理得y24x.即点G的轨迹S方程为y24x.二、填空题5已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为_答案或解析由已知(cos2)2sin23cos24cos 4sin23cos ，0,2，或6已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100.由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_答案x解析由O：x2y22，O：(x4)2y26知两圆相离，记切点分别为T、Q，则|PT|PQ|.如图：而|PT|2|PO|22，|PQ|2|PO|26.|PO|22|PO|26.设P(x，y)，则x2y22(x4)2y26.即8x12，即x.三、解答题7已知ABC的两个顶点坐标为A(2,0)、B(0，2)，第三个点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程(注：设ABC顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC重心坐标为G(，)解析设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x20x1,3y02y1，即x13x2，y13y2，C(x1，y1)在曲线y3x21上，3y23(3x2)21.化简得y9x212x3.故ABC的重心的轨迹方程为y9x212x3.(不包括和直线AB的交点)总结反思当形成轨迹的动点P随另一动点B有规律地运动，且动点B的轨迹给定或能求得时，可先用动点P的坐标表示点B的坐标，并代入动点B的轨迹方程中得到动点P的轨迹方程这种求轨迹的方法叫相关点法，也叫代入法8(2014·北京文)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解析(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A、B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以·0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(x0)2(y02)2xy4x44(0<x4)因为4(0<x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28，故线段AB长度的最小值为2.
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