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时间：45分钟满分：100分班级：_姓名：_学号：_得分：_一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20xx北京朝阳期末)已知a为正常数，F1，F2是两个定点，且|F1F2|2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|PF2|a21，则动点P的轨迹是()A椭圆 B线段C椭圆或线段 D直线解析：因为a212a(当且仅当a1时，等号成立)，所以|PF1|PF2|F1F2|.当a1时，|PF1|PF2|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a1时，|PF1|PF2|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2，因此应选C.答案：C2(20xx深圳二模)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为()A4 B8C12 D16解析：直线yk(x)过定点N(，0)，而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428，故选B.答案：B3(20xx德州二模)方程10，化简的结果是()A.1 B.1C.1 D.1解析：方程10表示的是动点(x，y)到定点(0，3)与(0,3)距离之和为10，根据椭圆的定义，可得化简的结果是1，故选C.答案：C4(20xx浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B.C. D.解析：设|AF1|m，|AF2|n，则有mn4，m2n212，因此122mn16，mn2；而(mn)2(2a)2(mn)24mn1688，因此双曲线的a，c，则有e.答案：D5(20xx韶关调研)椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A， B，C，1 D，1解析：设与的夹角为，由于|cos|，与的夹角为0时取“”所以的最大值为(ac)(ac)，因此c2a2c23c2，所以e21e23e2.又e(0,1)，所以e，故选B.答案：B6(20xx汉中一模)若椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q点，使得|PQ|F2P|，那么动点Q的轨迹是()A圆 B椭圆C直线 D点解析：因|F1Q|F1P|PQ|F1P|PF2|2a，所以Q点的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(20xx辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.解析：设椭圆的右焦点为F1，三角形ABF中由余弦定理可得|BF|8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.答案：8(20xx德阳联考)椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是_解析：设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动，则路程应为2(ac)；若小球沿AN方向运动，则路程为2(ac)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a.答案：4a或2(ac)或2(ac)9(20xx四川模拟)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_解析：依题意得知，点F(1,0)，不妨设点A(2cos ，sin )(sin 0)，则有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin()，当2k，kZ，即2k，kZ,2cos 1，sin 时，FAB的周长最大，此时FAB的面积等于(11)33.答案：310(20xx福建)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：MF1F2是直线的倾斜角，所以MF1F260，MF2F130，所以MF2F1是直角三角形，在RtMF2F1中，|F2F1|2c，|MF1|c，|MF2|c，所以e1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11(20xx陕西模拟)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.12(20xx滨州质检)设椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：xy50相切，求椭圆C的方程解：(1)设Q(x0,0)(x00)，由F(c,0)，A(0，b)知(c，b)，(x0，b)，cx0b20，x0，设P(x1，y1)，由，得x1，y1b.因为点P在椭圆上，所以1.整理得2b23ac，即2(a2c2)3ac,2e23e20，又e(0,1)，故椭圆的离心率e.(2)由(1)知2b23ac，得a；又，得ca，于是F(a,0)，Q(a,0)AQF的外接圆圆心为(a,0)，半径r|FQ|a，所以a，解得a2，c1，b，所求椭圆方程为1.13(20xx绵阳诊断)设F1、F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时求证：kPMkPN是与点P位置无关的定值解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A(1，)在椭圆上，因此1得b23，于是c21.所以椭圆C的方程为1，焦点为：F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x，y，即x12x1，y12y.因此1.即(x)21为所求的轨迹方程(3)证明：设点M(m，n)是椭圆1上的任一点，N(m，n)是M关于原点的中心对称点，则1又设P(x，y)是椭圆上任意一点，且kPMkPN存在则kPM，kPN，kPMkPN.得0，kPMkPN.故kPMkPN是与P的位置无关的定值
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