一轮优化探究理数苏教版练习:第八章 第六节 立体几何中的向量方法 Word版含解析

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高考数学精品复习资料 2019.5一、填空题1已知向量m、n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n,则l与所成的角为_解析:由于cosm,n,所以m,n120°,所以直线l与所成的角为30°.答案:30°2若a(1,2),b(2,1,1),a与b的夹角为60°,则_.解析:由cos 60°,解得17或1.答案:17或13点A(n,n1,2n),B(1,n,n),则|的最小值是_解析:|2 (1n)2(2n1)2(n)26(n)2,当n时,|的最小值为.答案:4.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB2,E为PB的中点,cos,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为_解析:设PDa(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),(0,0,a),(1,1,),由cos,a ·,a2.E的坐标为(1,1,1)答案:(1,1,1)5直三棱柱ABC­A1B1C1中,ACB90°,BAC30°,BC1,AA1,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成的角为_解析:建立坐标系如图所示,易得M(0,0,),A1(0,0),A(0,),B1(1,0,0),(1,),(0,)·1×030,.即AB1A1M,即AB1与1M所成的角为90°.答案:90°6长方体ABCD­A1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),(1,0,2),(1,2,1),cos ,.答案:7正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_解析:设一个侧面面积为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为,由题设得,设侧面与底面所成二面角为,则cos ,60°.答案:60°8P是二面角­AB­棱上的一点,分别在、平面上引射线PM、PN,如果BPMBPN45°,MPN60°,那么二面角­AB­的大小为_解析:不妨设PMa,PNb,如图,作MEAB于E,NFAB于F,EPMFPN45°,PEa,PFb,·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0,二面角­AB­的大小为90°.答案:90°9正四棱锥S­ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC所成的角是_解析:如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.设ODSOOAOBOCa,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P(0,)则(2a,0,0),(a,),(a,a,0)设平面PAC的法向量为n,可求得n(0,1,1),则cos ,n.,n60°,直线BC与平面PAC所成的角为90°60°30°.答案:30°二、解答题10如图,已知正三棱柱ABC­A1B1C1各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合(1)当CF1时,求证:EFA1C;(2)设二面角C­AF­E的大小为,求tan 的最小值解析:(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(,3,0),F(0,4,1)于是1(0,4,4),(,1,1)则1·(0,4,4)·(,1,1)0440,故EFA1C.(2)设CF(0<4),平面AEF的一个法向量为m(x,y,z),则由(1)得F(0,4,)(,3,0),(0,4,),于是由m,m可得即取m(,4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n(1,0,0),于是由为锐角可得cos ,sin ,所以tan .由0<4,得,即tan .故当4,即点F与点C1重合时,tan 取得最小值.11如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,BCF90°,BECF,CEEF,AD,EF2.(1)求异面直线AD与EF所成的角;(2)当AB的长为何值时,二面角A­EF­C的大小为45°?解析:如图,以点C为坐标原点,分别以CB,CF和CD作为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系C­xyz.设ABa,BEb,CFc(b<c),则C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,b,0),F(0,c,0),D(0,0,a),(1)(,0,0),(,0,0),(,bc,0),由|2,得3(bc)24,bc1.所以(,1,0)所以cos,所以异面直线AD与EF所成的角为30°.(2)设n(1,y,z)为平面AEF的法向量,则n·0,n·0,结合|2|2|2|2,解得n(1,)又因为BA平面BEFC,(0,0,a),所以|cosn,|,得到a.所以当AB为时,二面角A­EF­C的大小为45°.12如图,棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC60°,平面AA1C1C平面ABCD,A1AC60°.(1)证明:BDAA1;(2)求二面角D­A1A­C的平面角的余弦值;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由解析:连结BD交AC于O,则BDAC,连结A1O.在AA1O中,AA12,AO1,A1AO60°,A1O2AAAO22AA1·AOcos 60°3,AO2A1O2A1A2,A1OAO,由于平面AA1C1C平面ABCD,A1O底面ABCD,以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0),A1(0,0,)(1)证明:由于(2,0,0),(0,1,),则·0×(2)1×0×00,BDAA1.(2)由于OB平面AA1C1C,平面AA1C1C的法向量n1(1,0,0),设n2平面AA1D,则设n2(x,y,z),得到取n2(1,1),cos n1,n2,二面角D­A1A­C的平面角的余弦值是.(3)假设在直线CC1上存在点P,使BP平面DA1C1,设,P(x,y,z),则(x,y1,z)(0,1,),得P(0,1,),(,1,)设n3平面DA1C1,则设n3(x3,y3,z3),得到不妨取n3(1,0,1)又平面DA1C1,则n3·0,即0,得1,即点P在C1C的延长线上且使C1CCP.
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