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1东城区东城区 2013-20142013-2014 学年第一学期期末教学学年第一学期期末教学统一检测统一检测高三数学高三数学（理科）（理科） 学校学校_班级班级_姓名姓名_考号考号_本试卷共本试卷共 5 5 页，共页，共 150150 分。考试时长分。考试时长 120120 分钟。考生务必将答分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 4040 分）分）一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。选项中，选出符合题目要求的一项。（1 1）已知集合）已知集合 |02Axx， |(1)(1)0Bxxx，则，则AB （A A）(0,1) （B B） (1,2) （C C）(, 1)(0,) （D D） (, 1)(1,) （2 2）在复平面内，复数）在复平面内，复数 2ii 的对应点位于的对应点位于 （A A）第一象限）第一象限 （B B）第二象限）第二象限 （C C）第三象限）第三象限 （D D）第四象限）第四象限（3 3）设设aR，则则“1a ”是是“直线直线10axy 与直线与直线50 xay平平行行”的的（A A）充分而不必要条件充分而不必要条件 （B B）必要而不充分条件必要而不充分条件（C C）充分必要条件充分必要条件 （D D）既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 a =a+2否开始S=1是a=3S=SaS 100?输出a结束2（4 4）执行右图所示的程序框图，输出的）执行右图所示的程序框图，输出的a a的值为的值为（A A）3（B B）5（C C）7（D D）9（5 5）在）在ABC中，中，15a ，10b ，60A ，则，则cosB （A A）13 （B B）33（C C）63 （D D）2 233（主视图）（侧视图）（俯视图）1211（6 6）已知直线）已知直线3ykx与圆与圆22(2)(3)4xy相交于相交于M，N两点，若两点，若2 3MN ，则，则k的取值范围为的取值范围为 （A A）33,33 （B B）1 1, 3 3 （C C） 3(,3 （D D）3,)3（7 7）在直角梯形）在直角梯形ABCD中，中，90A，30B，2 3AB , ,2BC ，点点E在线段在线段CD 上，若上，若AEADAB ，则，则的取值范围是的取值范围是（A A）0,1 （B B）0, 3 （C C）10, 2 （D D）1 ,22（8 8）定义）定义,max , ,a aba bb ab设实数设实数, x y满足约束条件满足约束条件2,2,xy则则max4,3zxyxy 的取值范围是的取值范围是（A A） 6,10 （B B） 7,10 （C C） 6,8 （D D） 7,8 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分）二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。（9 9）若函数）若函数( )f x为奇函数，当为奇函数，当0 x 时，时，2( )f xxx，则，则( 2)f 的值为的值为 （1010）一个几何体的三视图如图所示，）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体则该几何体的体积为的体积为 4xyAOP（1111）若点）若点(4,4)P为抛物线为抛物线22ypx上一点，则抛物线焦点坐标为上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点；点P到抛物线的准线的距离为到抛物线的准线的距离为 （1212）函数）函数1yxx的最大值为的最大值为 （1313）如图，已知点）如图，已知点1(0, )4A, ,点点000(,)(0)P xyx 在曲线在曲线2yx 上，若阴影部分面积与上，若阴影部分面积与OAP面积相等时，面积相等时，则则0 x （1414）设等差数列）设等差数列 na满足：公差满足：公差*d N，*na N，且，且 na中任意两项中任意两项之和也是该数列中的一项之和也是该数列中的一项. . 若若11a ，则，则d ； 若若512a ，则则d的所有可能取值之和为的所有可能取值之和为 . .5三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。证明过程。（1515） （本小题共（本小题共 1313 分）分）已知函数已知函数2( )2 3sin cos2sin1f xxxx（）求）求()12f的值；的值；（）求）求( )f x在区间在区间0,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值（1616） （本小题共（本小题共 1313 分）分）已知已知 na是一个公差大于是一个公差大于 0 0 的等差数列，且满足的等差数列，且满足3545a a , , 2614aa. .（）求数列）求数列na的通项公式；的通项公式；（）若数列）若数列 nb满足：满足：1221222nnnbbba(*)nN，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和. .（1717） （本小题共（本小题共 1414 分）分）如图，在三棱柱如图，在三棱柱111ABCABC中，中，1B B 平面平面111ABC12ACCBCC，90ACB， D，E分别是分别是11AB，1CC的中点的中点（）求证：）求证：1C D平面平面1ABE；（）求证：平面）求证：平面1ABE 平面平面11AAB B； （）求直线）求直线1BC与平面与平面1ABE所成角的正弦值所成角的正弦值（1818） （本小题共（本小题共 1313 分）分）BACAADAEAA1B12AC16已知已知aR，函数，函数1( )lnf xxaxx（）当）当0a 时，求时，求( )f x的最小值；的最小值；（）若）若( )f x在区间在区间2,)上是单调函数，求上是单调函数，求a的取值范围的取值范围（1919） （本小题共（本小题共 1313 分）分）已知椭圆已知椭圆22221xyab(0)ab上的点到其两焦点距离之和为上的点到其两焦点距离之和为4，且过点且过点(0,1) （）求椭圆方程；）求椭圆方程；（）O为坐标原点，斜率为为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点交于点11( ,)A x y，22(,)B xy，若，若1212220 x xy yab，求，求AOB的面积的面积. .（2020）本小题共）本小题共 1414 分）分）若无穷数列若无穷数列na满足：满足：对任意对任意*nN，212nnnaaa；存在存在常数常数M，对任意，对任意*nN，naM，则称数列，则称数列na为为“T数列数列”.”. （）若数列）若数列na的通项为的通项为82nna (*)nN，证明：数列，证明：数列na为为“T数列数列” ； （）若数列）若数列na的各项均为正整数，且数列的各项均为正整数，且数列na为为“T数列数列” ，证明：对任意证明：对任意*nN，1nnaa；（）若数列）若数列na的各项均为正整数，且数列的各项均为正整数，且数列na为为“T数列数列” ，证明：存在证明：存在 0*n N，数列，数列0nna为等差数列为等差数列. .7东城区东城区 2013-20142013-2014 学年第一学期期末教学统一检测学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 （理科）（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）（1 1）C C （2 2）D D （3 3）A A （4 4）C C（5 5）C C （6 6）A A （7 7）C C （8 8）B B二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）（9 9）6 （1010）32 （1111） (1,0) ，5（1212）2 （1313）64 （1414）1, 63三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分）（1515） （共（共 1313 分）分） 解：（解：（）由）由2( )2 3sin cos2sin1f xxxx3sin2 coscos2xxx，得得( )2sin(2)6f xx所以所以()2sin3123f 88 分分（）因为）因为02x，所以所以2666x 当当262x，即，即6x时，时，函数函数( )f x在区间在区间0,2上的最大值为上的最大值为2当当266x，即，即2x时，时，函数函数( )f x在在0,2上的最小值为上的最小值为11313分分8（1616） （共（共 1313 分）分） 解：（解：（）设等差数列）设等差数列 na的公差为的公差为d，则依题设，则依题设0d 由由2614aa, ,可得可得47a 由由3545a a ，得，得(7)(7)45dd，可得，可得2d 所以所以1731ad可得可得21nan66 分分（）设）设2nnnbc ，则，则121nnccca. .即即122ncccn，可得可得12c ，且，且1212(1)nnccccn所以所以12nc，可知，可知2nc (*)nN所以所以12nnb，所以数列所以数列 nb是首项为是首项为4，公比为，公比为2的等比数列的等比数列所以前所以前n项和项和24(1 2 )241 2nnnS1313 分分（1717） （共（共 1414 分）分）证明：（证明：（）取）取AB的中点的中点F，连结，连结DF，交，交1AB于点于点M，可知，可知M为为DF中点，中点， 连结连结EM，易知四边形，易知四边形1C DME为平行四边形，为平行四边形， 所以所以1C DEM 又又1C D 平面平面1ABE，EM 平面平面1ABE，9所以所以1C D平面平面1ABE44 分分证明：（证明：（）因为）因为1111ACC B，且，且D是是11AB的中点，的中点，所以所以111C DAB因为因为1BB 平面平面111ABC，所以，所以11BBC D所以所以1C D 平面平面11AAB B又又1C DEM，所以，所以EM 平面平面11AAB B又又EM 平面平面1ABE，所以平面所以平面1ABE 平面平面11AAB B分分解：（解：（）如图建立空间直角坐标系）如图建立空间直角坐标系Cxyz，则则(0,2,0)B，1(0,0,2)C, , (0,0,1)E，1(2,0,2)A1(0, 2,2)BC ，1(2,0,1)EA ，(0,2, 1)EB 设平面设平面1ABE的法向量为的法向量为( , , )x y zn. .则则10,0.EAEB nn 所以所以20,20.xzyz 令令1x . .则则(1, 1, 2) n. .设向量设向量n与与1BC 的夹角为的夹角为， 则则113cos6BCBC nn. .所以直线所以直线1BC与平面与平面1ABE所成角的正弦值为所成角的正弦值为36. . 1414 分分BACAADAEAA1B12AC1FAMAxAyAzA10（1818） （共（共 1313 分）分）解：（解：（）当）当0a 时，时，1( )lnf xxx（0 x ） ，22111( )xfxxxx所以，当所以，当01x时，时，( )0fx ；当；当1x 时，时，( )0fx 所以，当所以，当1x 时，函数有最小值时，函数有最小值(1)1f分分（）222111( )axxfxaxxx当当0a 时，时，12 xax在在2,)x上恒大于零，即上恒大于零，即0)( xf，符，符合要求合要求当当0a 时，要使时，要使( )f x在区间在区间2,)上是单调函数，上是单调函数，当且仅当当且仅当2,)x时，时，210axx 恒成立恒成立即即21xax恒成立恒成立设设21( )xg xx，则则32( )xg xx，又又2,)x，所以，所以( )0g x ，即，即( )g x在区间在区间2,)上为增函上为增函数，数，( )g x的最小值为的最小值为1(2)4g ，所以，所以14a 综上，综上， a的取值范围是的取值范围是14a ，或，或0a 1313 分分（1919） （共（共 1313 分）分）解（解（）依题意有）依题意有2a ， 1b 故椭圆方程为故椭圆方程为2214xy 11分分（）因为直线）因为直线AB过右焦点过右焦点( 3,0)，设直线，设直线AB的方程为的方程为 (3)yk x. .联立方程组联立方程组2214(3).xyyk x，消去消去y并整理得并整理得2222(41)8 31240kxk xk （* *）故故21228 341kxxk，212212441kx xk212122(3)(3)41ky yk xk xk又又1212220 x xy yab，即，即121204x xy y所以所以22223104141kkkk，可得，可得212k ，即，即 22k 方程（方程（* *）可化为）可化为234 320 xx，由由2121ABkxx，可得，可得2AB 原点原点O到直线到直线AB的距离的距离2311kdk. . 所以所以112AOBSAB d 1313 分分（2020） （共（共 1414 分）分） （）证明：由）证明：由82nna ，可得，可得2282nna，1182nna，所以所以2121282822(82)20nnnnnnnaaa ，所以对任意所以对任意*nN，212nnnaaa又数列又数列na为递减数列，所以对任意为递减数列，所以对任意*nN，16naa12所以数列所以数列na为为“T数列数列” 55分分（）证明：假设存在正整数）证明：假设存在正整数k，使得，使得1kkaa由数列由数列na的各项均为正整数，可得的各项均为正整数，可得11kkaa由由212kkkaaa，可得，可得2122(1)2kkkkkkaaaaaa且且2111122kkkkkkaaaaaa同理同理3123kkkaaa，依此类推，可得，对任意依此类推，可得，对任意*nN，有，有k nkaan因为因为ka为正整数，设为正整数，设kam，则，则*mN. .在在k nkaan中，设中，设nm，则，则0k na与数列与数列na的各项均为正整数矛盾的各项均为正整数矛盾所以，对任意所以，对任意*nN，1nnaa.10.10 分分（）因为数列）因为数列na为为“T数列数列” ，所以，存在常数所以，存在常数M，对任意，对任意*nN，naM设设*M N由（由（）可知，对任意）可知，对任意*nN，1nnaa，则则1231nnaaaaa若若1nnaa，则，则10nnaa；若；若1nnaa，则，则11nnaa而而2n 时，有时，有121321()()()nnnaaaaaaaa所以所以1a，21aa，32aa，1nnaa，中最多有，中最多有M个大个大于或等于于或等于1，13否则与否则与naM矛盾矛盾所以，存在所以，存在0*n N，对任意的，对任意的0nn，有，有10nnaa所以，对任意所以，对任意*nN，0010nnnnaa 所以，存在所以，存在 0*n N，数列，数列0nna为等差数列为等差数列. .1414 分分
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