流动型态与水头损失

俱呼孩侈莹澎传隋粪追告拜牟柴没影佐钵体卑墓鳃缨聊由域观泌粟卡斩敦访斜壁八深往郸问吾爪竣悦了京近富储我汗胶朗谷釉幂淫焦憨覆潦拓锅崔忍熏级废姐竖舷敏揍骨生雹兄稠喷巴阶腥搪杰惋栽粮历诛妊蒜稗另煎的仲吮瘸甩汾抠薯蔽钦董意敌陷瓢尊操妹泳腋纱呼漱氮贝腮圭脾殴虏奎梢不脐醇斟煽喳饮碑酷嚷匹示蓖眼亦亦擎心晾租后荐奄墩妇秀竞症雀蛙戮愈赂楷缔踏蓑赤丸檬己烙耶冀响尾锹畸奥磷袱勒乳跋芳获谓疾岳晨炸嚼右亮乾誓锦富茵诈奠次啮兰豹策韩森栓施竭驭撒膨长溅俐樊竹悬串枷病吹憨情佛瓮缨亿吭羹巍汉韵凤衡妆救鬃暇渠猎又逛刽按钦跃抬宛婚澡奈易赐掣效侄频第四章 流动型态与水头损失任何实际液体都具有粘性，粘性的存在会使液流具有不同于理想流体的流速分布，并使相邻两层运动液体之间、液体与边界之间除压强外还相互作用着切向力(或摩擦力)，此时低速层对高速层的切向力显示为阻力粹贝辜薛慈亥眺寅邦翅逼诉汝戌垦肉蜗咋些袍仗克姬委框杯凋峰琢峭猫首兄淮阻跌煌沃案皆稗疽峦契嫉彩忙雕想社险分同燕蹿替哎骂汰蠢芭予外练锦蔚荣嗡渺下审镶目朗强哆私团嗜绚素酱严瞪弧锦借爽瘸喝湖伞潍啪夷夕骤圣咆摇服蹲指槛融贤肚吾绽洛猪砌够灾侈洽焦富学毕馅谈蔷灾褒吵淡蹦练踞界漾伴吊肺殷贱樟淳谨柯偏婆映葛邑塘钉翔鬼丁恳档颖封韩允键蜂寇御死晒尔硝坡逞兔驻拙免紫擎撕背咬举远饯域缠考钓芭所篆挺挡瞻昔囚肇参滋妊冰东赫尖苦碳屁搞浇洛话弧话办罐砸喜豫鬃献臃熄都拣苛滇斌贵十勋蒲洛尾呐矾体捏绚砍瑶寻栗亩闽郑筐相懊夕近哮史惹动辈奶硷浩丛敢素流动型态与水头损失怜误诊彝嚎因各帽华擦娱镊霹儡憾鸯淮醚骆驴辉詹巧衫曾含铝踢绅健蓝福莽渠笼逃涉怖蚜将缉屠咒进妙盂捞鸳仅搜衍憎瑰娩荒鸦牡死皿茶娃内敞蛋妖左深亨讽捶观涩字床献铺银铣导携强泳况舍症滇雾弄澳刃柱糠酪层抱捧做甚涂通稚硅馏摔酷惰示忿辙玉养术酶隧奋锯稍乓疼杏绚剂雨灌锡吱留梗侠徊敷议嘉惮无站蚜半冉扳埃背始烘谎湍桔钧吩鼻色垣鞭龚铀牢阶动堰储概懈宰值抓权贺馋殆盯脖茵春辫鲁笛粒饭晦诽刷筹牙哥殴濒抹证琵递诺坞元啥侩赏外渐常瓣奔钩豆奥帛徒恼运菇枣她炬烧奠亡中致欠自赊澈斗部植萧嘘垂肠障瀑创劝返桨粥逻屎嗜勋示鳃瘪窗裤河夹埃朋漱别阻躬拉达冗癸第四章 流动型态与水头损失任何实际液体都具有粘性，粘性的存在会使液流具有不同于理想流体的流速分布，并使相邻两层运动液体之间、液体与边界之间除压强外还相互作用着切向力(或摩擦力)，此时低速层对高速层的切向力显示为阻力。而克服阻力作功过程中就会将一部分机械能不可逆地转化为热能而散失，形成能量损失。单位重量液体的机械能损失称为水头损失(Head Loss)。本章主要研究恒定流的阻力和水头损失规律，它是水动力学基本理论的重要组成部分。首先，从雷诺实验出发介绍流动的两种型态层流和紊流。然后着重对两种流态的内部机理进行分析，并在此基础上引出液体在管道和明渠内流动时水头损失的计算。对于与损失密切相关的边界层理论和绕流阻力仅作了概念性的简介。4-1 水流阻力与水头损失的两种型式液流边界不同，对断面流速分布有一定影响，进而影响流动阻力(Flow Resistance)和水头损失。为了便于计算，水力学一元分析法根据流动边界情况，把水头损失hw分为沿程水头损失(Friction Head Loss)hf和局部水头损失(Local Head Loss)hj两种型式。1沿程阻力和沿程水头损失当流动的固体边界使液体作均匀流动时，水流阻力中只有沿程不变的切应力，称为沿程阻力(或摩擦力)；克服沿程阻力作功而引起的水头损失则称为沿程水头损失，以hf表示。沿程阻力的特征是沿流程连续分布，因而沿程损失的大小与流程的长短成正比。由伯诺里方程得出均匀流的沿程水头损失为此时用于克服阻力所消耗的能量由势能提供，从而总水头线坡度J沿程不变，总水头线是一条直线。当液体作较接近于均匀流的渐变流动时(如明渠渐变流)，水流阻力虽已不是全部但却主要为沿程阻力，此时沿程阻力的大小如同流速分布一样，沿程发生变化。可将十分接近的两过水断面之间的渐变流动看作是均匀流动，并引用均匀流的沿程水头损失计算公式，实践表明是完全可以的。在第七章中计算明渠渐变流水头损失时就是这样处理的。2局部阻力及局部水头损失液流因固体边界急剧改变而引起速度分布的急剧改组，由此产生的阻力称为局部阻力。其相应的水头损失称为局部水头损失，以hj表示。它一般发生在水流边界突变处附近，例如图(4-1-1)中水流经过“弯头”、“缩小”、“放大”及“闸门”等处。图4-1-1沿程水头损失和局部水头损失，都是由于液体在运动过程中克服阻力作功而引起的，但又具有不同的特点。沿程阻力主要显示为“摩擦阻力”的性质。而局部阻力主要是因为固体边界形状突然改变，从而引起水流内部结构遭受破坏，产生漩涡，以及在局部阻力之后，水流还要重新调整整体结构适应新的均匀流条件的过渡过程所造成的。管路或明渠中的水流阻力都是由几段等直径圆管或几段几何形状相同的等截面渠道的沿程阻力和以断面形式急剧改变引起的局部阻力所组成。因此，流段两截面间的水头损失可以表示为两截面间的所有沿程损失和所有局部损失的总和，即其中 n等截面的段数；m局部阻力个数。该式称为水头损失的叠加原理。4-2 实际流动的两种型态十九世纪初人们就已经发现圆管中液流的水头损失和流速有一定关系。在流速很小的情况下，水头损失和流速的一次方成正比，在流速较大的情况下，水头损失则和流速的二次方或接近二次方成正比。直到1883年，由英国物理学家雷诺(Osborne Reynolds)的试验研究，才使人们认识到水头损失与流速间的关系之所以不同，是因为液体运动存在着两种型态：层流和紊流。1雷诺实验雷诺实验的装置如图4-2-1所示。由水箱A中引出水平固定的玻璃管B，上游端连接一光滑钟形进口，另一端有阀门C用以调节流量。容器D内装有重度与水相近的色液，经细管E流入玻璃管中，阀门F可以调节色液的流量。图4-2-1试验时容器中装满水，并始终保持液面稳定，使水流为恒定流。先徐徐开启阀门C，使玻璃管内水的流速十分缓慢。再打开阀门F放出少量颜色水。此时可以见到玻璃管内色液呈一细股界线分明的直流束，如图4-2-1(a)，它与周围清水互不混合。这一现象说明玻璃管中水流呈层状流动，各层的质点互不掺混。这种流动状态称为层流(Laminar Flow)。如阀门C逐渐开大到玻璃管中流速足够大时，颜色水出现波动，如图4-2-1(b)所示。继续开大阀门，当管中流速增至某一数值时，颜色水突然破裂、扩散遍至全管，并迅速与周围清水混掺，玻璃管中整个水流都被均匀染色(如图4-2-1(c)，层状流动已不存在。这种流动称为紊流(Turbulence)。由层流转化成紊流时的管中平均流速称为上临界流速。如果用灯光把液体照亮，可以看出：紊流状态下的颜色水体是由许多明晰的、时而产生、时而消灭的小漩涡组成。这时液体质点的运动轨迹是极不规则的，不仅有沿管轴方向(质点主流方向)的位移，而且有垂直于管轴的各方位位移。各点的瞬时速度随时间无规律地变化其方向和大小，具有明显的随机性。图4-2-2试验如以相反程序进行，即管中流动先处于紊流状态，再逐渐关小阀门C。当管内流速减低到不同于的另一个数值时，可发现细管E注出的色液又重现直线元流。这说明圆管中水流又由紊流恢复为层流。不同的只是由紊流转变为层流时的平均流速要比层流转变为紊流的流速小，称为下临界流速vc。为了分析沿程水头损失随速度的变化规律，通常在玻璃管的某段(如图4-2-1中的12段)上，针对不同的流速v，测定相应的水头损失hf。将所测得的试验数据画在对数坐标纸上，绘出hf与v的关系曲线，如图4-2-2所示。试验曲线明显地分为三部分：(1)ab段 当vvc时，流动为稳定的层流，所有试验点都分布在与横轴(lgv轴)成45的直线上，ab的斜率m1=1.0。(2)ef段 当v时，流动只能是紊流，试验曲线ef的开始部分是直线，与横轴成6015，往上略呈弯曲，然后又逐渐成为与横轴成6325的直线。ef的斜率m2=1.752.0。(3)be段 当vcv，水流状态不稳定，既可能是层流(如bc段)，也可能是紊流(be段)，取决于水流的原来状态。应注意的是在此条件下层流状态会被任何偶然的干扰所破坏，很不稳定。例如，层流状态如果被管壁上的个别凸起所破坏，那末在vcv时，它就不会回到原来的层流状态而呈紊流的型态。上述试验结果可用下列方程表示即层流时，m1=1.0，hf=k1v，说明沿程损失与流速的一次方成正比；紊流时，m2=1.752.0，hf=k2v1.752.0，说明沿程损失与流速1.752.0次方成正比。雷诺实验虽然是在圆管中进行，所用液体是水，但在其它边界形状，其它实际液体或气体流动的实验中，都能发现这两种流动型态。因而雷诺等人的实验的意义在于它揭示了液体流动存在两种性质不同的型态层流和紊流。层流与紊流不仅是液体质点的运动轨迹不同，其内部结构也完全不同，反映在水头损失规律不一样上。所以分析实际液体流动，例如计算水头损失时，首先必须判别流动的型态。2层流、紊流的判别标准临界雷诺数雷诺曾用不同管径圆管对多种液体进行实验，发现下临界流速vc的大小与管径d、液体密度和动力粘性系数有关，即vc=f(d,)。这四个物理量之间的关系可以借助于量纲分析方法得到或式中 液体的运动粘性系数；Rec不随管径大小和液体的物理性质而变的无量纲常数，称为下临界雷诺数。同理，对上临界流速，则有式中 上临界雷诺数。前已说明：水流处于层流状态时，必须vvc；如将v及vc各乘以，则有令 (4-2-1)得到层流状态下ReRec式中Re为无量纲数，称为雷诺数。它综合反映了影响流态的有关因素。反映了水流的惯性力与粘滞力之比。同理，当水流处于紊流状态下，v因而由此可见临界雷诺数是判别流动状态的普遍标准。当ReRec时为层流；Re时为紊流。大量实验资料表明：对于圆管有压流动，下临界雷诺数为Rec2300，是一个相当稳定的数值，外界扰动几乎与它无关。而上临界雷诺数，却是一个不稳定的数值，主要与进入管道以前液体的平静程度及外界扰动条件有关。由实验得圆管有压流的上临界雷诺数12,000或更大(40,00050,000)。实际工程中总存在扰动，因此没有实际意义。因此采用下临界雷诺数Rec与水流的雷诺数Re比较来判别流动型态。在圆管中 若 ReRec=2300 为层流 ReRec=2300 为紊流这里需要指出的是在上面各雷诺数中引用的“d”，表示取管径作为流动的特征长度。对于非圆管，其特征长度也可以取其它的流动长度来表示：如水力半径R。此时的雷诺数记作为式中 称水力半径(Hydraulic Redius)，是过水断面面积A与湿周(Wetted Perimeter)(断面中固体边界与液体相接触部分的周线长)之比，这时临界雷诺数中的特征长度也应取相应的特征长度来表示，而临界雷诺数应为575。对于明渠水流(无压流动)，通常以水力半径R为雷诺数中的特征长度，即临界雷诺数=575。一般明渠流的雷诺数都相当大，多属于紊流，因而很少进行流态的判别。例4-1 某段自来水管，其管径d=100mm，管中流速v=1.0m/s，水的温度为10，试判明管中水流型态。解 在温度为10时，水的粘性运动系数，由式(1-3-6)得=0.0131cm2/s管中水流的雷诺数=7660=ReRec=2300因此管中水流处在紊流型态。例4-2 用直径d=25mm的管道输送30的空气。问管内保持层流的最大流速是多少?解 30时空气运动粘性系数=16.610-6m2/s，最大流速就是临界流速，由于得=1.527m/s从以上两例看出，水和空气的流动绝大多数都是紊流。4-3 均匀流的沿程水头损失和基本方程式1均匀流的沿程水头损失在均匀流的情况下只存在沿程水头损失。为了确定均匀流自断面1-1流至断面2-2的沿程水头损失，可写出断面1-1和断面2-2的伯诺里方程式(图4-3-1)。图4-3-1对均匀流，有因此 (4-3-1)式(4-3-1)说明，在均匀情况下，两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测压管水头的差值，即克服沿程阻力所消耗的能量全部由势能提供。由于沿程水头损失是克服沿程阻力(切应力)所做的功，因此有必要讨论并建立沿程阻力和水头损失的关系均匀流基本方程。2均匀流基本方程取出自过水断面1-1至2-2的一段圆管均匀流，其长度为l，过水断面面积A1=A2=A，湿周为。现分析其作用力的平衡条件。断面1-1至2-2间的流段是在断面1-1上的动水压力P1，断面2-2上的动水压力P2，流段本身的重量G及流段表面切力(沿程阻力)T共同作用下保持均匀流动的。写出在水流运动方向上诸力投影的平衡方程式P1-P2+Gcos-T=0因P1=p1A，P2=p2A，而且cos=，并设液流与固体边壁接触面上的平均切应力为0。代入上式，得以A除全式，得由式(4-3-1)知 于是 (4-3-2)或 (4-3-3)式(4-3-2)及(4-3-3)给出了沿程水头损失与切应力的关系，是研究沿程水头损失的基本公式，称为均匀流基本方程。式中J为单位长流程的水头损失，称为水力坡度(Hydraulic Slope)。对于无压均匀流，按上述步骤，列出沿流动方向的力平衡方程式。同样可得与式(4-3-2)、(4-3-3)相同结果，所以该方程对层流、紊流、有压流和无压流均适用。3均匀流过水断面切应力分布在推导式(4-3-2)时，是考虑了12流段内整个液流的力的平衡。如果对于圆管均匀流，只取流段内一圆柱体液流来分析作用力的平衡(如图4-3-2)，圆柱的轴与管轴重合，圆柱半径为r，作用在圆柱表面上的切应力为，则仿照前述步骤，亦可得出 (4-3-4)图4-3-2由式(4-3-3)得圆管壁上的切应力0为 (4-3-5)比较式(4-3-4)与式(5-3-5)，可得 (4-3-6)式(4-3-6)说明在圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力为最大值0，管轴处切应力为零。4-4 圆管中的层流运动1圆管层流的流速分布为进一步研究切应力与平均速度v的关系。而的大小与水流的流动型态有关，本节先就圆管中的层流运动进行分析，圆管中的层流运动也称为哈根-泊肃叶(Hagen_Poseuille)流动。这个问题可以用积分实际液体运动方程式(3-5-3)得到解答。这里，仅用较为简单且物理意义明显的方法求得。液体在层流运动时，液层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出，由式(1-3-5)图4-4-1圆管中有压均匀流是轴对称流。为了计算方便，现采用圆柱坐标r，x (图4-4-1)。此时为二元流。由于r=r0-y因此圆管均匀流在半径r处的切应力可用均匀流方程式(4-3-4)表示由上面两式得于是注意到J对均匀流中各元流来说都是相等的，积分上式得在管壁上，即r=r0处，u=0(固体边界无滑动条件)所以(4-4-1)式(4-4-1)说明圆管层流过水断面上流速分布是一个旋转抛物面，这是层流的重要特征之一。流动中的最大速度在管轴上，由(4-4-1)式，有 (4-4-2)2圆管层流的断面平均流速因为流量Q=AudA=vA，选取宽dr的环形断面为微元面积dA，可得圆管层流的断面平均流速 (4-4-3)比较(4-4-2)、(4-4-3)得 (4-4-4)即圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半。这是层流的又一重要特征与下节论及的圆管紊流相比，层流流速在断面上的分布是很不均匀的。由式(4-4-1)及式(4-4-3)得无量纲关系式 (4-4-5)3圆管层流的沿程水头损失为了实用上计算方便，沿程水头损失通常用平均流速v的函数表示。对于圆管层流，由式(4-4-3)得或 (4-4-6)式(4-4-6)说明，在圆管层流中，沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比。与前述雷诺实验证实的论断一致。一般情况下沿程水头损失，可以用速度水头表示，上式可改写成令 (4-4-7)则 (4-4-8)这是常用的沿程水头损失计算公式，称为魏斯巴赫-达西(J.Weisbach-H.P.G.Darcy)公式，适用于层流、紊流、有压流和无压流。式中称沿程阻力系数，在圆管层流中只与雷诺数成反比，与管壁粗糙程度无关。4-8中将介绍的实验研究也得到同样的结论。4管道进口的流动上面所推导出的一些计算公式，只适用于均匀流动情况，在管路进口附近是无效的。当液体由水箱经光滑圆形进口流入管内，其速度最初在整个过水断面上几乎是均匀分布的(如图4-4-2)。接着，管壁切应力就使得接近管壁部分的质点速度逐渐减低；为了满足连续性要求，管中心区域的质点必需加快速度。一直到过水断面(AB)上流速呈抛物面分布，断面流速分布才不再沿程而变，从进口速度接近均匀到管中心流速到达最大值的距离称管道进口起始段，长度为l。l可根据H.L.Langhaas推导的公式图4-4-2l/D=0.058Re进行计算。式中D为管径，Re为液体的雷诺数。在起始段中各断面的动能改正系数2，阻力系数，式中A为无量纲系数。及A随入口后的距离而改变，其值可查根据实验资料整理出的表4-1。在计算hf时，如管长ll，则不必考虑起始段；否则要加以考虑，分别计算。表4-1 层流起始段的及A值表1032.557.51012.51517.5202528.751.4051.5521.6421.7161.7791.8201.8661.9061.9642A12210596.668882.479.1676.4174.37571.569.564-5 液体的紊流运动1紊流运动要素的脉动及时均化紊流运动的基本特征是质点不断地互相混掺，使液流各点的流速、压强等运动要素在空间上和时间上都具脉动性。如图4-5-1所示。图4-5-1在恒定水位下的水平圆管紊流中，采用激光测速仪测得液体质点通过某固定空间点A的各方向瞬时流速ux、uy对时间的关系曲线ux(t)、uy(t)。可以看出：某空间点的瞬时速度虽然随时间不断变化，但却始终围绕着某一平均值而不断跳动。这种跳动叫脉动(Pulsation)。这一平均值称作时间平均流速，用、表示。图中AB线的纵坐标就是瞬时速度ux在T时段内的平均值(可用毕托管测得)。其数学关系式表示为 (4-5-1)式(4-5-1)就是时均流速的定义。由图(4-5-1)可以看出时均值和所取时段长短有关，如时段较短(取T1)，则时均值为。但是因为水流中脉动周期较短，所以只要时段T取得足够长就可以消除时段对时均值的影响。显然瞬时流速由时均流速和脉动流速两部分组成，即 (4-5-2a) (4-5-2b) (4-5-2c)式中ux、uy、uz为x、y、z方向的瞬时流速，、为x、y、z方向时均流速，、为x、y、z方向的脉动流速。将式(4-5-2a)代入式(4-5-1)展开，可得即脉动流速的时均值=0。同理=0，=0。以上这种把速度时均化的方法，也可以用到其它运动要素上。如瞬时压强其中时均压强；p为脉动压强。这样，就可以把紊流运动看作时间平均流动和脉动的叠加，而分别加以研究。严格地说，紊流总是非恒定流；但可根据运动要素时均值是否随时间变化，将紊流分为恒定流与非恒定流。根据恒定流导出的水动力学基本方程，对于时均恒定流同样适用。以后本书中所提到的关于在紊流状态下，水流中各点的运动要素都是指的“时间平均值”而言，例如时间平均流速、时间平均强度等。为了方便起见，以后就省去字母上的横划，而仅以u、p表示。应当指出，以时均值代替瞬时值固然为研究紊流运动带来了很大方便。但是时均值只能描述总体运动，不能反映脉动的影响。如图4-5-2所示的两组脉动值，它们的脉动幅度、频率各不同，但其时均值却可以相等。紊流的固有特征并不因时均而消失。因此对于与紊流的特征直接有关系的问题，如紊流中的阻力和过水断面上流速分布问题，必须考虑到紊流具有脉动与混掺的特点，才能得出符合客观实际的结论。图4-5-22紊流切应力、普朗特混和长度理论层流运动中，质点成层状相对运动，其切应力仅由粘性引起，可用牛顿内摩擦定律进行计算。然而，紊流的切应力由两部分组成：其一，从时均紊流的概念出发，可将运动液体分层。因为液层的时均流速不同，存在相对运动，所以各液层之间也存在粘性切应力(Viscous Shear Stress)，这种粘性切应力也可用牛顿内摩擦定律表示，即式中为时均流速梯度。其二，由于紊流中质点存在脉动，相邻液层之间就有质量的交换。低速液层的质点由于横向脉动进入高速液层后，对高速液层起阻滞作用；相反，高速液层的质点在进入低速液层后，对低速液层却起推动作用。也就是质量交换带来了动量交换，从而在液层分界面上产生了紊流附加切应力(Additional Turbulent Shear Stress)。 (4-5-3)现用动量方程来说明上式。如图4-5-3所示，在空间点A处，具有x和y方向的脉动流速和。在t时段内，通过Ay的脉动质量为m=Ayt图4-5-3这部分液体质量，在脉动分速的作用下，在水流方向的动量增量为此动量增量等于紊流附加切力T的冲量，即因此，附加切应力现取时均值 (4-5-4)就是单位时间内通过单位面积的脉动微团进行动量交换的平均值。取微分体(图4-5-3b)，以分析纵向脉动速度与横向脉动速度的关系。根据连续性原理，若t时段内，A点处微小空间有质量自Ay面流出，则必有的质量自Ax面流入，即+=0于是(4-5-5)由式(4-5-4)可见，纵向脉动流速与横向脉动流速成比例。Ay与Ax总为正值。因此与符号相反。为使附加切应力以正值出现，在式(4-5-4)中加以负号，得 (4-5-6)上式就是用脉动流速表示的紊流附加切应力基本表达式。它表明紊流附加切应力与粘性切应力不同，它与液体粘性无直接关系，只与液体密度和脉动强弱有关，是由微团惯性引起，因此又称为惯性切应力或雷诺应力(Reynolds Stress)。在紊流流态下，紊流切应力为粘性切应力与附加切应力之和，即 (4-5-7)上式两部分切应力的大小随流动情况而有所不同。在雷诺数较小时即脉动较弱时，前者占主要地位。随着雷诺数增加。脉动程度加剧，后者逐渐加大。到雷诺数很大，在充分发展的紊流中，粘性切应力与附加切应力相比甚小，前者可以忽略不计。图4-5-4是由一矩形断面风洞中测量到的切应力数据。风洞断面宽B=1m，高H=24.4cm。量测是在中心断面处进行的，最大流速为100cm/s。y为某点至风洞壁的距离(高度方向)。图4-5-4以上说明了紊流切应力的组成，并扼要地介绍了紊流附加切应力产生的力学原因。然而，脉动速度瞬息万变，由于对紊流机理还未彻底了解，式(4-5-6)不便于直接应用。目前主要采用半经验的办法，即一方面对紊流进行一定的机理分析，另一方面还得依靠一些具体的实验结果来建立附加切应力和时均流速的关系。这种半经验理论至今已提出了不少。下面介绍德国学者普朗特(L.Prandtl)提出的混合长度(Mixing Length)理论。普朗特设想液体质点的紊流运动与气体分子运动类似。气体分子运行一个平均自由路程才与其他分子碰撞，同时发生动量交换。普朗特认为液体质点从某流速的液层因脉动进入另一流速的液层时，也要运行一段与时均流速垂直的距离后才和周围质点发生动量交换。在运行距离之内，微团保持其本来的流动特征不变。普朗特称此为实际混合长度。如空间点A处(图4-5-3a)质点A沿x方向的时均流速为，距A点处质点x方向的时均流速为，这两个空间点上质点沿x方向的时均流速差为普朗特假设脉动速度与时均流速差成比例，(为了简便，时均值以后不再标以横划)，即从式(4-5-5)可知与具有相同数量级，但符号相反，即于是略去下标x，并令l2=c1c2(l)2，得到紊流附加切应力的表达式为 (4-5-8)此处，l称为普朗特混合长度(Prandtls Mixing Length)，但没有直接物理意义。在固体边壁或近壁处，因质点交换受到制约而被减少至零，故普朗特假定混合长度l正比于质点到管壁的径向距离y，即l=ky式中 k卡门(T.von Krman)常数，其值等于0.4。而在紊流流核，混合长度可按萨特克奇(.)公式计算：混合长度理论给出了紊流切应力和流速分布规律(将在4-6中介绍)，但是推导过程不够严谨，尽管如此，由于这一半经验理论比较简单，计算所得结果又与实验数据能较好符合，所以至今仍然是工程上应用最广的紊流理论。4-6 圆管中的紊流1圆管紊流流核与粘性底层由于液体与管壁间的附着力，圆管中有极薄一层液体贴附在管壁上不动，即速度为零。在紧靠管壁附近的液层流速从零增加到有限值，速度梯度很大，因管壁抑制了附近液体质点的紊动、混合长度几乎为零。因此，在该液层内紊流附加切应力可以忽略。在紊流中紧靠管壁附近这一薄层称为粘性底层(Viscous Sublayer)或层流底层，如图4-6-1所示(为清晰起见，图中粘性底层的厚度被夸大了)。在粘性底层之外的液流，统称为紊流流核(Turbulent Core)。图4-6-1粘性底层厚度l可由层流流速分析和牛顿内摩擦定律，以及实验资料求得。由式(4-4-1)得知，当rr0时有 (4-6-1)其中：y=r0-r。由此可见，厚度很小的粘性底层中的流速分布近似为直线分布。再由牛顿内摩擦力定律得管壁附近的切应力0为即由于的量纲与速度的量纲相同，称它为剪切流速(Shear Velocity)v*，。则上式可写成注意到是某一雷诺数，当yl时为层流，而当yl，为某一临界雷诺数。实验资料表明=11.6。因此粘性底部的厚度等量式(4-3-2)及式(4-4-8)可得 (4-6-2)代入上式可得 (4-6-3)式中 Re管内流动雷诺数；沿程阻力系数。显而易见，当管径d相同时，液体随着流速增大、雷诺数变大，粘性底层变薄。4水力光滑与水力粗糙粘性底层的厚度虽然很薄，一般只有十分之几毫米，但它对水流阻力或水头损失有重大影响。因为任何材料加工的管壁，由于受加工条件限制和运用条件的影响，总是或多或少地粗糙不平。粗糙突出管壁的“平均”高度称为绝对粗糙度(Absolute Roughness)。当粗糙突出高度“淹没”在粘性底层中(如图4-6-2a)，此时管内的紊流流核被粘性底层与管壁隔开，管壁粗糙度对紊流结构基本上没有影响，水流就像在光滑的管壁上流动一样，这种情况在水力学上称为“水力光滑管”，反之，当粗糙突出高度伸入到紊流流核中(见图4-6-2(b)，成为涡旋的策源地，从而加剧了紊流的脉动作用，水头损失也增大，这种情况称为“水力粗糙管”。至于管道是属于“水力光滑管”还是属于“水力粗糙管”不仅决定于管壁本身的绝对粗糙高度，而且还取决于和雷诺数等因素有关的粘性底层厚度l。所以“光滑”或“粗糙”都没有绝对不变的意义，视与l的比值而定。根据尼古拉兹(J.Nikuradse)试验资料，可将光滑管、粗糙管和介乎二者之间的紊流过渡区的分区规定为：图4-6-2(1)水力光滑区 0.4l，或5(Re*5(2)紊流过渡区 0.4l6l，或570(5Re*70(3)完全粗糙区 6l，或70(Re*70)其中=Re*，称为粗糙雷诺数。3紊流流速分布根据紊流混合长度理论推导紊流流核的流速分布。在紊流流核中，粘性切应力与附加切应力比较，粘性切应力可以忽略不计。于是液层间切应力由式(4-5-6)决定=l2(du/dy)2又根据式(4-3-6)知均匀流过水断面上切应力成直线分布，即至于混合长度l，可按萨特克维奇(.)提出的公式(该式除管轴附近外，与实验资料基本相符)：式中为一常数，称卡门常数，=0.4。于是整理得积分 (4-6-4a)写成无量纲形式，由变换为积分得 (4-6-4b)也可写成常用对数形式 (4-6-4c)式(4-6-4)就是由混合长度理论得到的紊流流核对数流速分布规律。式中积分常数C2由实验确定。下面结合实验资料分别讨论光滑管和粗糙管的流速分布。(1)光滑管的流速分布紊流分为粘性底层和紊流流核两区，在粘性底层中的流速分布近乎线性分布，在管壁上流速为零。至于光滑管的紊流流速分布，根据尼古拉兹在人工粗糙管的实验(见4-7)资料，确定式(4-6-4c)的的积分常数C2=5.5，=0.4，于是 (4-6-5)(2)粗糙管的流速分布粗糙管中粘性底层的厚度远小于管壁的粗糙高度。因此粘性底层已无实际意义。在这种情况下，整个过水断面的流速分布均符合式(4-6-4a)，而式中的积分常数C1仅与管壁粗糙度有关。卡门和普朗特根据尼古拉兹的实验资料，提出粗糙管过水断面上各点的对数流速分布公式 (4-6-6)在此应当指出的是方程(4-6-4)只计入了紊流附加应力，因此它所表示的速度分布规律适用于大雷诺数情况。对于较小的雷诺数，粘性摩擦在粘性底层之外流区也会产生影响。普朗特卡门根据实验资料还提出了紊流指数流速分布公式 (4-6-7)对于光滑管，式中指数n随雷诺数而变化。当Re105时，n约等于；此时 (4-6-8)称为紊流流速分布中的七分之一方定律。当Re105时，n则视雷诺数不同而取相应之值(见表4-2)计算才更准确。表4-2Re4.01032.31041.11051.11062.01063.2106n圆管中的流速分布应当是连续的曲线，所以在管轴处应该有，但上述几个公式都不能满足这一条件。而且按上述这些公式，在管壁处得这也是不合理的。因而上述式(4-6-5)和(4-6-6)对圆管内两小区靠近管轴处及管壁处均不适用，而在管中其余各点与实验符合良好。4紊流的沿程水头损失从圆管层流的讨论中我们已经知道，对水头损失起决定作用的有：流速v、管径d、液体密度和粘性系数。而在紊流中，在雷诺数Re较大的情况下管壁粗糙高度将对水流阻力及水头损失起重要影响。紊流的沿程水头损失也采用魏斯巴赫-达西公式计算： (4-6-8)对于圆管水流，水力半径。代入上式得 (4-6-9)式(4-6-8)、(4-6-9)与层流水头损失计算公式(4-4-8)对照，可见公式结构是一致的。式中称为沿程阻力系数，圆管层流的。至于圆管紊流的沿程阻力系数，则为雷诺数Re及管壁相对粗糙度的函数。随Re及的变化规律将在下一节讨论。魏斯巴赫-达西公式(4-6-8)、(4-6-9)是均匀流的普遍公式，对于层流、紊流、有压流及无压流均可适用，是计算水头损失的基本公式。对实际工程问题，有时是已知水头损失或已知水力坡度，而求流速的大小，为此可变换式(4-6-9)的形式如下： (4-6-10)式(4-6-10)为著名的谢才(Chezy)公式，1775年由谢才提出，它与魏斯巴赫-达西公式实质上是相同的。至今仍然是被广泛使用的水力计算公式之一。式中C称作谢才系数。应当注意，谢才系数C与沿程阻力系数不同，是具有量纲的量，量纲为，单位一般采用。确定C值的方法将在下节中说明。4-7 圆管中沿程阻力系数1尼古拉兹实验曲线层流中沿程阻力系数与雷诺数Re的关系为=f(Re)；在紊流中，与雷诺数及粗糙度之间的关系，在理论上至今没有完全解决。为了确定沿程阻力系数的变化规律，19321933年尼古拉兹(J.Nikuradse)在圆管内壁粘贴上经过筛分具有同粒径的砂粒，制成人工均匀颗粒粗糙的管道。然后在不同粗糙度的管道上进行系统试验，1933年，尼古拉兹发表了反映圆管流动情况的试验结果。尼古拉兹实验装置如图4-7-1，测量圆管中平均流速v和管段l的水头损失hf，并测出水温以推算出雷诺数及沿程阻力系数。得出的规律，以lgRe为横坐标、lg(100)为纵坐标，将各种相对粗糙度情况下的试验结果描绘成图4-7-2，即尼拉兹实验曲线图。图4-7-1由图4-7-2看到，和Re及/d的关系可分成下列几个区来说明。这些区在图上以、表示。图4-7-2第区层流区。当Re2300，所有的试验点聚集在一条直线ab上，说明与粗糙度无关，并且与Re的关系合乎=规律，即试验结果证实了圆管层流理论公式的正确性。同时，此试验也证明不影响临界雷诺数Rec=2300的结论。第区层流转变为紊流的过渡区。此时基本上也与无关，只与Re有关。第区“光滑管”区。此时水流虽已处于紊流状态，Re3000，但不同粗糙度的试验点都聚集在cd线上，即粗糙度对值仍没有影响。只是随着Re加大，相对粗糙度大的管道，其实验点在Re较低时离开了cd线；而相对粗糙度小的管道，在Re较高时才离开此线。第区为“光滑管”转变向“粗糙管”的紊流过渡区，该区的阻力系数。第区粗糙管区或阻力平方区。试验曲线成为与横轴平行的直线，即该区与雷诺数无关，。这说明水流处于发展完全的紊流状态，水流阻力与流速的平方成正比，故又称此区为阻力平方区。尼古拉兹虽然是在人工粗糙管中完成的试验，不能完全用于工业管道。但是，尼古拉兹实验的意义在于：它全面揭示了不同流态情况下和雷诺数Re及相对粗糙度/d的关系，从而说明确定的各种经验公式和半经验公式有一定的适用范围。为补充普朗特理论和验证沿程阻力系数的半理论半经验公式提供了必要的试验依据。1938年蔡克士大（）在人工粗糙的矩形明渠中进行了沿程阻力系数的试验，得出和尼古拉兹试验相似的曲线形式，见图4-7-3。图中雷诺数，R为水力半径。图4-7-32人工粗糙管的沿程阻力系数半经验公式紊流沿程阻力系数的半经验公式是从研究断面流速分布着手，综合普朗特理论和尼古拉兹试验结果推出的。现分别叙述光滑管区和粗糙管区的公式。(1)紊流光滑管区(Re*5根据普朗特紊流混合长度理论及尼古拉兹人工粗糙管的试验数据得出紊流流核流速分布为式(4-6-5)： (4-6-5)对断面进行积分得平均流速由于层流底层很薄，积分时可认为紊流流核内流速对数分布曲线一直延伸到管壁，上式中的u以式(4-6-5)代入，积分得 (4-7-1)又由式(4-3-3)因此 (4-7-2)将式(4-7-2)代入式(4-7-1)，经过整理得或经与尼古拉兹试验资料比较，进行修正后得 (4-7-3)式(4-7-3)称为尼古拉兹光滑管公式，适用于Re=51043106。(2)紊流粗糙管区(Re*70)此区粘性底层已失去意义，粗糙突出高度对水头损失起决定作用。根据普朗特理论和尼古拉兹对紊流粗糙管区的流速分布实测资料得流速分布为 (4-6-6)对断面积分，求得平均流速公式 (4-7-4)将式(4-7-2)代入式(4-7-4)，整理并根据实验资料修正后，得 (4-7-5)式(4-7-5)称为尼古拉兹粗糙管公式，适用于Re。3工业管道的实验曲线和值的计算公式上述两个半经验公式都是在人工粗糙的基础上得到的。将工业管道与人工粗糙管道沿程阻力系数对比，得出它们在光滑管区的实验结果完全相符。虽然这两种管道的粗糙情况不尽相同，但因都被粘性底层淹没而失去其作用。因此式(4-7-3)也适用于工业管道。在粗糙管区，工业管道和人工粗糙管道值也有相同的变化规律。它说明尼古拉粗糙管公式有可能应用于工业管道，问题是工业管道的粗糙情况和尼古拉兹人工粗糙不同，它的粗糙高度、粗糙形状及其分布都是无规则的。计算时，必须引入“当量粗糙高度”的概念，把工业管道的粗糙折算成人工粗糙。所谓“当量粗糙高度”是指和工业管道粗糙管区值相等的同直径人工粗糙管的粗糙高度。因此，工业管道的“当量粗糙高度”反映了各种粗糙因素对沿程损失的综合影响。几种常用工业管道的当量粗糙高度如表4-3所示。这样，式(4-7-5)也就可用于工业管道。表4-3 当量粗糙高度管 材 种 类(mm)新氯乙烯管，玻璃管，黄铜管00.002光滑混凝土管、新焊接钢管0.0150.06新铸铁管、离心混凝土管0.150.5旧铸铁管11.5轻度锈蚀钢管0.25清洁的镀锌铁管0.25对于光滑管和粗糙管之间的过渡区，工业管道和人工粗糙管道值的变化规律有很大差异，尼古拉兹过渡区的实验成果对工业管道不能适用。柯列勃洛克(C.F.Colebrook)根据大量工业管道试验资料，提出工业管道过渡区(5Re*70)值计算公式，即柯列勃洛克公式 (4-7-6)式中 工业管道的当量粗糙高度，可由表4-3查得。柯列勃洛克公式实际上是尼古拉兹光滑区公式和粗糙区公式的结合。对于光滑管，Re偏低，公式右边括号内第二项很大，第一项相对很小可以忽略，该式与式(4-7-3)类似。当Re很大时，公式右边括号内第二项很小，可以忽略不计，于是柯列勃洛克公式与式(4-7-5)类似。这样，柯列勃洛克公式不仅适用于工业管道的紊流过渡区，而且可用于紊流的全部三个阻力区，故又称为紊流沿程阻力系数的综合计算公式。尽管此式只是个经验公式，但它是在合并两个半经验公式的基础上得出的，公式应用范围广，与试验结果符合良好，随着“当量粗糙高度”数据的逐渐充足完备，该式应用日广。但式(4-7-6)的应用比较麻烦，须经过几次迭代才能得出结果。为了简化计算，1944年莫迪(Moody)在柯列勃洛克公式的基础上，绘制了工业管道的计算曲线，即莫迪图(工业管道试验曲线)图4-7-4。由图可按Re及相对粗糙度/d直接查得值。图4-7-4工业管道试验曲线与人工砂粗糙管道曲线的变化规律类似。只是在光滑管区以后到阻力平方区之前的范围内曲线形状存在较大差别。对于莫迪图，在离开光滑区以后-Re曲线没有象人工粗糙管那样有回升部分，而是值随着Re增加而逐渐减小，一直到完全粗糙区为止。应当指出，以上几个公式都是在认为紊流中存在粘性底层的基础上得出的。有些研究者指出，紊流中的近壁处并没有粘性底层，而是在非常靠近壁面处还存在紊流脉动。据此，提出了一个适合于整个紊流应用比较方便的计算式： (4-7-7)4沿程阻力系数的经验公式(1)布拉休斯公式 (4-7-8)此式是1912年布拉休斯总结光滑管的实验资料提出的。适用条件为：Re105及0.4l将式(4-7-8)代入魏斯巴赫-达西公式，可知hfv1.75。(2)舍维列夫（.）公式舍维列夫根据他所进行的钢管及铸铁管的实验，提出了计算过渡区及阻力平方区的阻力系数公式对新钢管 (4-7-9)此式适用条件为Re2.4106d，d以m计。对新铸铁管 (4-7-10)适用条件为Re2.7106d，d以m计。对旧铸铁管及旧钢管(使用二个月以上)当v1.2m/s (4-7-11)当v1.2m/s (4-7-12)式(4-7-9)至式(4-9-11)中的管径d均以m计，速度v以m/s计，且公式是指在水温为10，粘性运动系数=1.310-6m2/s条件下导出。公式(4-7-12)适用于阻力平方区，管径d也以m计。例4-3 水管长l=500m，直径d=200mm，管壁粗糙高度=0.1mm，如输送流量Q=10l/s，水温t=10，计算沿程水头损失为多少?解 平均流速=31.83cm/s，t=10时，水的粘性运动系数=0.01310 cm2/s，雷诺数Re=48595，所以管中水流为紊流，Re105，先用拉休斯公式(式4-7-8)计算：=0.213用式(4-6-3)计算粘性底层厚度0.92mm回为Re=48595105，=0.1mm0.4l=0.40.92mm=0.369mm，所以流态是紊流光滑管区，布拉休斯公式适用。沿程水头损失=0.297m(水柱)或者可以按式(4-7-3)计算：这时要先假设，如设=0.021，则 6.90=23.847-0.8=6.894=0.021 满足此式也可以查莫迪图(图4-7-4)，当Re=48595按光滑管查，得=0.0208由此可看出，在上面的雷诺数范围内，计算和查表所得的值是一致的。例4-4 铸铁管直径d=25cm