江苏高考理科卷

绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：样本数据的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为.【答案】【解析】略2.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积 .【答案】3【解析】。3.函数的单调减区间为 .11Oxy【答案】【解析】，由得单调减区间为。4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 .【答案】3【解析】，所以，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679开始输出 结束YN则以上两组数据的方差中较小的一个为 .【答案】【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 .【答案】22【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .【答案】【解析】略10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 .【答案】【解析】略11.已知集合，若则实数的取值范围是，其中 .【答案】4【解析】由得，；由知，所以4。12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】（1）（2）【解析】略13如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【答案】xyA1B2A2OTM【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .【答案】【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（本小题满分14分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.【解析】由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以. 16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，求证：（1）ABCA1B1C1EFD（2）【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，所以；（2）因为直三棱柱，所以，又，所以，又，所以。17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.解析：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（2），令，因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是，不符合。所以满足条件的正整数。18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆xyO11.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1) 或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为(1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；(2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。(4) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；(5) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(6) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)当时，显然 (2)当时，由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为20(本小题满分16分)设为实数，函数.(1) 若，求的取值范围；(2) 求的最小值；(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】（1）若，则（2）当时，当时，综上(3) 时，得，当时，；当时，得1）时，2）时，3）时，