《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析

经济数学线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章 行列式和矩阵 了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若 是 阶行列式， 为常数，则有： 了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若 为 阶方阵，则下列结论等价 可逆 满秩 存在 阶方阵 使得 熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵： （其中 是 的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设 均为3阶矩阵，且 ，则 。解：答案：72因为 ，且 所以 例2 设 为 矩阵， 为 矩阵，则矩阵运算（ ）有意义。解：答案：A因为 ，所以A可进行。关于B，因为矩阵 的列数不等于矩阵 的行数，所以错误。关于C，因为矩阵 与矩阵 不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵 与矩阵 不是同形矩阵，所以错误。例3 已知 求 。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得 。例4 设矩阵 求 。解：方法一：伴随矩阵法 可逆。且由 得伴随矩阵 则 = 方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵 求 的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解： 。例5若 是 阶矩阵，且 ，试证 证明： 注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论。第三章 线性方程组一、本章主要内容主要概念：齐次线性方程组 非齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 系数矩阵 增广矩阵 一般解 通解（全部解） 特解 基础解系 自由元（自由未知量）维向量 线性组合（线性表出）线性相关 线性无关 极大线性无关组 向量组的秩 向量空间 向量空间的基和维数主要性质：齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质主要定理：线性方程组的理论 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 非齐次线性方程组解的结构 向量组线性相关性的有关定理（教材中第三章第三节）定理1、2、3及有关推论；极大无关向量组的有关定理（教材中第三章第四节）定理1、2、3主要方法：高斯消元法 齐次线性方程组解的情况判别 非齐次线性方程组解的情况判别 基础解系的求法 通解的求法 向量组线性相关（无关）的判别法 极大线性无关组的求法二、本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。三、典型例题解析例1 向量组，若向量组线性相关则= 。解：答案：2因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以求向量组的秩，决定的取值，使其秩数小于3。具体解法是 当时，故向量组线性相关。例2 设向量组为 求它的一个极大无关组，并判断向量组的相关性。分析：解：是向量组的一个极大无关组，此向量组线性相关。例3 线性方程组当为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？分析：因为增广矩阵的秩与的取值有关，所以选择的值，使解 时，有，方程组有解且有无穷多解。例4 设线性方程组的增广矩阵经初等行变换后化为求方程组的通解。分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。解： 得到方程组的一般解为 （其中是自由元）令，得的一个特解再由相应齐次方程组的一般解 （其中是自由元）令，得的一个解向量令，得的另一个解向量是的一个基础解系，于是方程组的通解为其中为任意常数。