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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲复变函数与解析函数,1.,复变函数的定义,2.,映射的概念,3.,反函数或逆映射,5 复变函数,1.复变函数的定义,与实变函数定义相类似,定义,例1,例2,o,x,y,(,z,),G,o,u,v,(,w,),G,G*,w=f,(,z,),在几何上，,w=f,(,z,)可以看作：,定义域,函数值集合,2.映射的概念,复变函数的几何意义,z,w=f,(,z,),w,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的,对应关系来表达两对变量,u,，,v,与,x,，,y,之间的对应关系，以便在研究和理解复变,函数问题时，可借助于几何直观,.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图,1-1,o,x,y,(z,),图1-1,u,v,(,w,),o,例5,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),R=2,R=4,3.反函数或逆映射,例,设,z,=,w,2,则称 为,z,=,w,2,的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义,设,w,=,f,(,z,)的定义集合为G,函数值集合为G,*,则称,z,=,(,w,)为,w,=,f,(,z,),的反函数（,逆映射,）.,例,已知映射,w=z,3,，求区域 0argz 在平面w上的象。,例,1.,函数的极限,2.,运算性质,3.,函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,1.函数的极限,定义,u,v,(,w,),o,A,x,y,(,z,),o,几何意义,:,当变点z一旦进,入,z,0,的充分小去,心邻域时,它的象,点,f,(,z,)就落入A的,一个预先给定的,邻域中,(1),意义中 的方式是任意的,.,与一元实变函数相比较要求更高,.,(2)A,是复数.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3)若f(z)在 处有极限,其极限,是唯一的.,定理2,以上定理用极限定义证,!,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4,证明,f,(,z,)=arg,z,在原点及负实轴上不连续。,证明,x,y,(,z,),o,z,z,例5,定理4,连续函数的和、差、积、商(分母不为0),仍为连续函数;,连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,第二章 解析函数,第一节,解析函数的概念,第二节 函数解析的充要条件,第三节 初等函数,1.,复变函数的导数定义,2.,解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一.复变函数的导数,(1)导数定义,定义,设函数,w,=,f,(,z,),z,D,且,z,0,、,z,0,+,z,D，,如果极限 存在，则称函数,f,(,z,)在点,z,0,处可导。,称此极限值为,f,(,z,)在,z,0,的导数，,记作,如果,w,=,f,(,z,)在区域D内处处可导，则称,f,(,z,),在区域D内可导,。,(1),z,0,是在平面区域上以任意方式趋于零。,(2),z=,x+iy,z,=,x+iy,f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则,常数的导数 c,=(,a+ib,),=0.,(,z,n,),=,nz,n-1,(,n,是自然数).,证明,对于复平面上任意一点,z,0,，有,-实函数中求导法则的推广,设函数,f,(,z,),g,(,z,)均可导，则,f,(,z,),g,(,z,),=f,(,z,),g,(,z,),，,f,(,z,),g,(,z,),=f,(,z,),g,(,z,),+f,(,z,),g,(,z,),复合函数的导数(,f,g,(,z,),=f,(,w,),g,(,z,),，,其中,w=g,(,z,)。,反函数的导数 ，其中:,w=f(z,),与,z=,(w,)互为单值的反函数，且,(,w,),0。,思考题,例3,问：函数,f,(,z,)=,x,+2,yi,是否可导？,例2,解,解,例4,证明,f,(,z,),=z,Re,z,只在,z,=0处才可导。,证明,(1),复变函数在一点处可导，要比实函数,在一点处可导要求高得多，也复杂得,多，这是因为,z,0,是在平面区域上,以任意方式趋于零的原故。,(2)在高等数学中要举出一个处处连续，,但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举,。,(3)可导与连续,若,w,=,f,(,z,)在点,z,0,处可导,w,=,f,(,z,)点,z,0,处连续.,?,二.解析函数的概念,定义,如果函数,w,=,f,(,z,)在,z,0,及,z,0,的某个邻域内处处,可导，则称,f,(,z,)在,z,0,解析；,如果,f,(,z,)在区域D内每一点都解析，则称,f,(,z,)在,D,内解析，或称,f,(,z,)是D内的解析函数,(全纯函数或正则函数）。,如果,f,(,z,)在点,z,0,不解析，就称,z,0,是,f,(,z,)的,奇点,。,(1),w,=,f,(,z,),在,D,内解析 在,D,内可导。,(2),函数,f,(,z,),在,z,0,点可导，未必在,z,0,解析。,定理1,设,w,=,f,(,z,)及,w,=,g,(,z,)是区域D内的解析函数，,则,f,(z),g,(z)，,f,(,z,),g,(,z,)及,f,(,z,),g,(,z,)(,g,(,z,)0时),均是D内的解析函数。,定理 2,设,w=f,(,h,)在,h,平面上的区域 G 内解析,h,=g(,z,)在,z,平面上的区域 D 内解析,h,=g(,z,)的函数值,集合 G，则复合函数,w=f,g(,z,)在D内处处解析。,注解,1,、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；,注解,2,、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；,注解,3,、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,
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