数理统计第节基本概念

单击此处编辑母版标题样式,第一章 统计量与抽样分布,第1.1节 基本概念,第1.2节 充分统计量与完备统计量,第1.3节 抽样分布,第1.4节 次序统计量及其分布,第1.1节 基本概念,一、总体和样本,二、统计量和样本矩,三、经验分布函数,一、总体与样本,1.总体与个体,一个统计问题总有它明确的研究,对象.,研究对象的全体元素组成的集合称为,总体(母体),，总体中每个成员称为,个体,.,研究某批灯泡的质量,考察国产 轿车的质量,总体,总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是,总体,.,该批灯泡寿命的全体就是总体,灯泡的寿命,所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体,国产轿车每公里,的耗油量,考察某大学一年级,学生的年龄,某大学一年级全体,学生的年龄构成问,题的总体,总体可以用一个随机变量来表示,设该大学一年级学生,的年龄分布如下表,年龄 18 19 20 21 22,比例 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03,若从该大学一年级学生中任意抽查一个学生的年龄，所得结果为一随机变量，记作,X,.,X,的概率分布是：,可见，,X,的概率分布反映了总体中各个值的分布情况.很自然地，我们就用随机变量,X,来表示所考察的总体.,也就是说，,总体可以用一个随机变量及其分布来描述.,X,p,而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具.因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来,.,从另一方面看,统计的任务,是根据从总体中抽取的样本,，,去推断总体的性质,.,由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量),，,所谓总体的性质,，,无非就是这些指标值的集体的性质,.,又如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是,寿命,，那么，此总体就可以用随机变量,X,表示，或用其分布函数,F,(,x,)表示.,某批,灯泡的寿命,总体,寿命,X,可用一概,率分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号,或用其分布函数表示总体.如,说总体,X,或总体,F,(,x,).,F,(,x,),某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.,2、,有限总体和无限总体,实例,当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.,3.样本的定义,样本中所包含个体的总数,n,称为,样本容量.,从总体,X,中，随机地抽取,n,个个体：,称为总体,X,的一个,样本,，记为,注,4.样本值,每一次抽取,所得到的,n,个,确定的具体数值，记为,称为样本,的一个,样本值,(观察值).,5.简单随机样本,两个,特征：,获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.,定义,一个随机变量,X,或其相应的分布函数,F,(,x,)称为一个总体.,(1),代表性,：,X,1,X,2,X,n,中每一个与所考察的总体有相同的分布.,(2),独立性,：,X,1,X,2,X,n,是相互独立的随机变量.,总体和样本的数学严格定义：,定义,6.样本的分布,定理1.1,解,例1,解,例2,二、统计量与样本矩,由样本推断总体情况,需要对样本值进行“,加工,”,这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.,1.,统计量的定义,用于估计分布中参数的统计量，称为,估计量.,注,2 统计量用于统计推断，故不应含任何关于总体,X,的未知参数.,是,不是,例3,2.,常用统计量样本矩,1),样本均值,其观察值,它反映了总体均值,的信息,(1),样本矩,可用于推断：,E,(,X,).,2),样本方差,其观察值,它反映了总体方差,的信息,可用于推断：,D,(,X,).,3),样本标准差,其观察值,4),修正,样本方差,其观察值,样本方差与修正样本方差的,关系：,注,1,当,n,较大时，,2 当,n,较小时，,5),样本,k,阶(原点)矩,其观察值,6),样本,k,阶中心矩,其观察值,特例：,特例：,3、样本矩的性质,定理1.2,证,样本矩的极限性质,利用辛钦大数定理可以证明此性质.同时也可以得到,辛钦大数定理,三、经验分布函数,1、次序统计量,称为样本,的,次序统计量.,特别地，,注,2、次序统计量的分布,例4,解,3、,经验分布函数,定义1.3,为总体,X,的,经验分布函数,，即对于任何实数,x,，经验分布函数,F,n,(,x,)为样本值中不超过,x,的个数再除以,n,，亦即,即,4、,经验分布函数的性质,格里汶科,格里汶科定理,辛钦定理,格里汶科资料,Boris Vladimirovich Gnedenko,Born:,1 Jan 1912 in Simbirsk(now Ulyanovskaya),Russia,Died:,27 Dec 1995 in Moscow,Russia,再 见,