平面问题的三角形单元

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2013/11/27,#,3,有限元分析,的基本,步骤,（,1,）,结构离散化,：将结构分割成有限个单元体,（,2,）,选择位移模式,：假定内任一点位移可以用单元节点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。,由虚位移原理,可以得到单元的刚度矩阵,（,3,）,计算,单元刚度矩阵,求单元节点位移,与,节点,内力的关系,求出节点内力：,有限元分析的基本步骤,（,5,）由于上述总刚度矩阵常常是,奇异矩阵,，无法求解。,引入边界条件,，求解整个结构的所有单元,节点的位移,节点应变,节点,应力,。,（,4,）,集合所有节点的平衡方程,，形成整个结构的平衡方程组，,有限元分析的基本步骤,有限元的,单元分析,有限元分析实例求解,通过,材料力学,，,弹性力学,和,有限元法,分别求解对比：,例：等截面直杆在,自重,作用下的拉伸 图,(a),单位杆长重量为,q,，杆长为,L,，截面面积为,A,，弹性模数为,E,材料力学求解方法,材料力学求解方法,根据,力平衡条件,有：,内力,N(x)=q(L-x),取微元,dx,，则其,伸长为,x,截面上的位移：,根据,几何方程,求应变，物理方程求应力。这里,应变,根据,本构方程,求应力,材料力学求解方法,所以三个节点处的位移函数如下：,所以三个节点处的应变函数如下：,所以三个节点处的应力函数如下：,弹性力学求解方法,+dN,+dN,qdx,弹性力学求解方法,微元,力平衡方程,：,微元,几何方程,：,材料,本构方程,：,给出,边界方程,：,有限元法求解,有限单元法求解直杆拉伸：,1,、离散化（节点和单元,）,2,、外载荷集中到节点上，即把阴影部分的重量作用在节点,i,上,有限元法求解,3,、假设线单元上的位移为线性函数,由几何方程：,由本构方程：,节点内力：,有限元法求解,有限单元法求解直杆拉伸：,4,、以,i,节点,为对象，列力的平衡方程,令,将位移和内力的关系代入得,用节点位移表示的平衡方程，其中,i=1,，,2,，,n,有,n,个方程,未知数也有,n,个，解方程组，得出,节点,位移，进而计算应力,2-1,有限单元法的概念,有限单元法求解直杆拉伸：,假设线单元数为,3,个的情况，,平衡方程有,3,个：,i=1,时，,i=2,时,i=3,时，,联立解得,与材料力学的精确解答在节点处,位移,完全相同，回代可以得到各点,应变值,，继续回代可以得到各点,应力值。,有限元法求解,设取,n=3,，求解含节点位移的线性方程组，得各点位移如下,有限元的,单元分析,1,三角形单元位移插值函数,假设已知,如何,求单元,内,(,x,y,),点位移,？,1,三角形单元位移插值函数,将,i,，,j,，,m,节点坐标（,已知,）,代入上式得含,待定系数,的方程组,选择位移插值函数如下：,代入上述位移函数可得：求解,6,个待定系数,其中,A,为三角形面积,将,待定系数,代入单元内部位移模式得到,任意点位移：,式中：,进一步,简化，,令,位移形函数,单元内部位移模式可以简写为：,单元内部位移模式的矩阵表达式：,单元内部位移模式的矩阵表达式可以简记为：,位移,转换,矩阵函数,或,位移形函数矩阵,单元内部位移模式的矩阵表达式：,位移形,函数,N,i,物理,含义,故,N,i,称为,位移,形,函数。,单元内部位移模式,必须满足三个条件才能,保证收敛：,注意,：,如,2,由,节点位移,求,应变,几何方程,2,由,节点位移,求,应变,几何方程,式中：,3,由,应变,求,应力,本构方程,将应变矩阵代入上式,已知：单元节点力和节点虚位移，,节点力所做的虚功,W,为：,4,由,应力,求,节点力,虚功方程,已知：单元内部应力和虚应变，则,整个弹性体内的变形虚功,U,为,单元刚度矩阵为,将虚应变矩阵,代入上式并整理,再将应力矩阵代入得,式中：,位移函数 几何方程 物理方程 虚功方程,单元刚度矩阵,k,单元分析小结,假设,节点位移,已知,可以表达,节点内力,单元分析小结,也就是说,每个单元,对,节点,贡献,的,力,知道了,取节点,i,分析，单元，和的共用节点,i,，所以,节点,i,的内力,为三个单元分力在该点之和：,5,节点平衡方程组,整体刚度矩阵,由于每个节点有,两个未知位移分量,，所以根据下列,两个平衡方程,理论上，可以求解。,5,节点平衡方程组,整体刚度矩阵,从,网格节点的,整体,来看，本问题共计,6,个节,点,，每个节点有,两个位移分量,，共计,12,个（未知）位移,分量,。,每个,单元分析,都可以,用,12,个节点位移,中的,6,个，,描述,该单元的,节点内力：,也就是说,所有,单元的节点,内力,都能用,12,个位移未知量来表达。,5,节点平衡方程组,整体刚度矩阵,列出所有节点的内、外力平衡方程：准确的说是,12,个方程可以求解,12,个未知量（,可能是位移也可能是外力,）。,注意：,边界上的节点，有些位移是已知的，有些是外力已知的。如果没有边界条件，方程会有无穷多个解。,5,节点平衡方程组,整体刚度矩阵,平面,问题三角形单元,有限元分析小结,有限元分析的基本步骤：,（,1,）,结构离散化,：将结构分割成有限个单元体,（,2,）,选择位移模式,：假定内任一点位移可以用单元节点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。,由虚位移原理,可以得到单元的刚度矩阵,（,3,）,计算,单元刚度矩阵,求单元节点位移,与,节点,内力的关系,求出节点内力：,平面问题三角形单元,有限元分析小结,（,5,）由于上述总刚度矩阵常常是,奇异矩阵,，无法求解。,引入边界条件,，求解整个结构的所有单元,节点的位移,节点应变,节点,应力,。,（,4,）,集合所有节点的平衡方程,，形成整个结构的平衡方程组，,平面,问题三角形单元,有限元分析小结,