随机变量的数字期望

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高校理科通识教育平台数学课程,概率论与数理统计,讲授,孙学峰,随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些,数值,4.1 随机变量的数学期望；,4.2 随机变量的方差；,4.3 协方差和相关系数;,本章内容：,4.4 矩与协方差矩阵.,数字特征,4.1 随机变量的数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,引例,有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出,问题：,已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？,解,“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。,分析：,若甲射击,N,次,设击中8环,9环和10环的次数分别为 次，则甲在,N,次射击中，平均每次击中的环数为,由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击中环数,则,故认为甲射手的水平较高。,由于,可以看出：,平均值,是以分布概率为权重的加权平均。,定义,设离散型随机变量,X,的概率分布为,P,X,=,x,k,=,p,k,，,k,=1,2,3,若级数,，则称级数和,为随机变量,X,的数学期望（或均值），,记作,E,（,X,）,随机变量,X,的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受,X,的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在,X,1 3,P,0.4 0.6,解,易知,例1,设随机变量,X,的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则,E,(,X,)=1.4 是指甲队平均每次可得分,求随机变量,X,和,Y,的数学期望,于是有,解,由,(,X,Y,),的联合分布律可得关于,X,、,Y,的边缘分布分别为,例2,设二维离散型随机变量(,X,Y,)的联合概率分布表,为,1 2 3,1 1/4 1/8 1/4,2 1/8 1/8 1/8,1 2,5/8 3/8,1 2 3,3/8 1/4 3/8,定理1,设二维离散型随机变量(,X,Y,)的联合概率分布为,则,证明,关于,X,的边缘分布为,于是有,同理可得,定义,设连续型随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,)，若积分,说明：如果积分 收敛，,则称随机变量,X,的数学期望不存在。,收敛，则称积分值 为,X,的数学期望（或均值）。记作,E,(,X,),，,即,2.连续型随机变量的数学期望,试证,X,的数学期望不存在,证,因为,例3,设随机变量,X,服从柯西分布,其密度函数为,即 不收敛，所以,X,的数学期望,不存在,求X的数学期望.,例4,设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为,解,由已知可得,例5,设二维连续型随机变量的概率密度函数为,解,关于,X,、,Y,的边缘概率密度函数分别,为,求,E,（,X,），,E,（,Y,）,于是有,定理2,设二维连续型随机变量,(,X,Y,),的概率密度函数为 f(x,y),则有,于是有,证,关于,X,、,Y,的边缘概率密度函数分别为,3.,随机变量函数的数学期望,如果级数,收敛，则有,定理3,设,X,是随机变量，,Y,=,g,(,X,)是,X,的连续函数，则有,(1)若 为离散型变量，其概率函数为,如果积分 收敛,则有,(2)如果,X,为连续型随机变量，其概率密度为,f,(,x,),(3),如果(,X,Y,)为离散型随机向量，其联合概率分布为,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,p,ij,i,j,=1,2,3,如果,则,Z,=,g,(,X,Y,)的数学期望为,(4)设二维随机向量（,X,，,Y,）为连续型随机变量，它的联合概率密度为,f,(,x,y,),若 收敛,则,Z,=,g,(,X,Y,)的数学期望为：,解,因为,分布律为,所以,其中,求,例6,设随机变量 ，,解,例7,设二维随机变量(,X,Y,)的密度函数为,求,解,求,例8,设二维随机变量(,X,Y,)的密度函数为,例8,设二维随机变量,的密度函数为,求,解,例9,设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?,解,设每年准备该种商品,y,t,则利润为,得到平均利润,为,当,y,=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大,证 可将,C,看成离散型随机变量，分布律为,P,X,=,C,=1，故由定义即得,E,(,C,)=,C,.,2.设,C,为常数，,X,为随机变量，则有,E,(,CX,)=,CE,(,X,),证 设,X,的密度函数为 ，则有,3.设 为任意两个随机变量，都有,1.,设,C,为常数，则有,E,(,C,)=,C,4.数学期望的性质,3.设,X,Y,为任意两个随机变量，都有,证,设二维随机变量(,X,Y,)的密度函数为,边缘密度函数分别为,和,则,推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有,4.数学期望的性质,4.设,X,Y,为相互独立的随机变量，则有,证,因为,X,与,Y,相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足,推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有,所以,解,设随机变量,例10,一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以,X,表示停车的次数，求,E,(,X,),i,=1,2,10,由题意，任一旅客在第,i,个车站不下车的概率为,表示第,i,站没有旅客下车，故20位旅客都不在第,i,站下车的概,率为,0.9,20,，在第,i,站有人下车的概率为,1-0.9,20,，于是得,X,i,的,分,布律如下：,X,i,0 1,P,0.9,20,1-0.9,20,例10,一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以,X,表示停车的次数，求,E,(,X,),解,随机变量,X,i,0 1,P,0.9,20,1-0.9,20,=10.9,20,这表明班车平均停车约9次,解,例11,设二维随机变量,的密度函数为,试验证 ，但,X,和,Y,是不独立的,解,例11,设二维随机变量,的密度函数为,试验证 ，但,X,和,Y,是不独立的,所以,现求,X,的边缘密度函数，,当 时，,当 时，,同理可得,Y,的边缘密度函数为,显然有,即,故,X,和,Y,是不独立的,1.离散型,2.连续型,3.,Y,=,g,(,X,),4.,Y,=,g,(,X,Y,),小 结,作业,P102 8.10.11.12.,