二重积分定义和性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分的定义和计算,知识准备,回忆定积分.,设一元函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,可积.则有,如图,0,x,y,a,b,x,i,x,i,+1,i,y,=,f,(,x,),f,(,i,),其中,x,i,=,x,i,+1,x,i,表示小区间,x,i,x,i,+1,的长,f,(,i,),x,i,表示小矩形的面积.,有一空间几何体.其底面是,xoy,面上的区域,D,其侧面为母线平行于,z,轴的柱面,其顶是曲面,z,=,f,(,x,y,),我们,称为曲顶柱体.,我们知道，顶是平面的,平顶柱体的体积V=底面积高，,那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？,0,y,z,x,z,=,f,(,x,y,),D,一、引例,(1),用曲线将,D,分成,n,个小区域,D,1,D,2,D,n,每个小区域,D,i,都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z,=,f,(,x,y,),0,y,z,x,z,=,f,(,x,y,),D,D,i,D,i,计算步骤,(2),由于,D,i,很小,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,(,i,i,),D,i,.,小平顶柱体的高=,f,(,i,i,).,若记,i,=,D,i,的面积.,则小平顶柱体的体积=,f,(,i,i,),i,小曲顶柱体体积,f,(,i,i,),(,i,i,),D,i,z,=,f,(,x,y,),(3),因此,大曲顶柱体的体积,分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值,V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值,V,.,也就是,1.定义,设,z=f,(,x,y,)是定义在有界闭区域,D,R,2,上的有界函数.,将D任意分割成,n,个无公共内点的小区域,D,i,(I=1,2,n,),其面积记为,i,.,(,i,i,),D,i,作积,f,(,i,i,),i,二、二重积分的概念与性质,若对任意的分法和任意的取法,当,0时,和式,的极限存在且极限值都为,I,则称,f,(,x,y,),在D上可积,记为,f,(,x,y,),R,(,D,),并称此极限值 I 为,f,(,x,y,)在D上的二重积分.记作,即,其中“,”称为,二重积分符号,D,称为,积分区域,f,(,x,y,),称为,被积函数,d,称为,面积元素,x,y,称为,积分变量,.和式,注1.,定积分,二重积分,区别在将小区间的长度,x,i,换成小区域的面积,i,将一元函数,f,(,x,)在数轴上点,i,处的函数值,f,(,i,)换成二元函数,f,(,x,y,)在平面上点,(,i,i,)处的函数值,f,(,i,i,).,可见,二重积分是定积分的推广.,注2.,若将D用两族平行于,x,轴和,y,轴的直线分割.(如图),则除边界上区域外,D,i,都是,矩形，它,的面积,为：,故也将二重积分写成,此时面积元素记为：,d,=d,x,d,y,i,=,x,i,y,i,2.二重积分的几何意义：设 x,y 在 D上可积,则,(1)当z=,f,(,x,y,),0时,(2)当z=,f,(,x,y,),0时,(3),=(D,1,上曲顶柱体体积),(,D,2,上曲顶柱体体积),3.二重积分的性质.,设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,直角坐标系下二重积分的计算.,由二重积分的几何意义知,当,f,(,x,y,),0时,如图,若点,x,处截面面积为A(,x,),则体积,三、二重积分的计算,x,y,0,a,x,A(,x,),b,如果积分区域D表示为：,利用直角坐标系计算二重积分,我们称为X,型,（特殊情况）,积分区域D为：,X,型,一般地，,-先对,y,积分，后对,x,积分的,二次积分,如果积分区域D为：,Y,型,-先对,x,积分，后对,y,积分的,二次积分,若区域如图，比不是X型也不是Y型，,在分割后的三个区域上分别使,用积分公式得：,则必须分割.,例1,将,化为二次积分。,其中,D,由直线,围成。,解 1：,先画出积分区域,D,，,可知,D,是 Y,型。,将,D,向,y,轴投影。,于是，,解 2：,D,也是 X,型。,将,D,向,x,轴投影。,于是，,例2,计算,其中,D,由直线,围成。,解,先画出积分区域,D,，,D,是 X,型。,将,D,向,x,轴投影。,于是，,于是，,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,二、小结,Y,型,X,型,