概率论与数理统计第二讲随机数的产生数据的统计描述

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,概率论与数理统计实验,实验2,随机数的产生,数据的统计描述,实验目的,实验内容,学习随机数的产生方法,直观了解统计描述的基本内容。,2、统计的基本概念。,4、计算实例。,3、计算统计描述的命令。,1、随机数的产生,在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用分布的随机数，命令如下：,一、随机数的产生,1,0,常用分布随机数的产生,定义：设随机变量,XF(x),则称随机变量,X,的抽样序列,X,i,为分布,F(x),的随机数,函数名,对应分布的随机数,binornd,二项分布的随机数,chi2rnd,卡方分布的随机数,exprnd,指数分布的随机数,frnd,f分布的随机数,gamrnd,伽玛分布的随机数,geornd,几何分布的随机数,hygernd,超几何分布的随机数,normrnd,正态分布的随机数,poissrnd,泊松分布的随机数,trnd,学生氏t分布的随机数,unidrnd,离散均匀分布的随机数,unifrnd,连续均匀分布的随机数,调用格式：,1、y=random(name,A1,A2,A3,m,n),其中：name为相应分布的名称，A1,A2,A3为分布,参数，m为产生随机数的行数，n为列数。,2、直接调用。,如：y=,binornd(n,p,1,10),产生参数位n，p的1行10,列的二项分布随机数,当只知道一个随机变量取值在,（,a,，,b,）,内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用,U,（,a，b,）,来模拟它。,1、均匀分布,U(a,b),1)unifrnd(a,b)产生一个a,b 均匀分布的随机数,2)unifrnd(a,b,m,n)产生m行n列的均匀分布随机数矩阵,例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数，,2行5列的随机数。,命令：,(,1)y1=unifrnd(2,8),(2)y2=unifrnd(2,8,1,10),(3)y3=unifrnd(2,8,2,5),y1=7.7008,y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726,4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926,y3=6.7516 6.4292 4.4342 7.5014 7.3619；,7.5309 3.0576 7.6128 4.4616 2.3473,2、正态分布随机数,例2、产生N(10,4)上的一个随机数，10个随机数，,2行5列的随机数.,命令,(,1)y1=normrnd(10,2),(2)y2=normrnd(10,2,1,10),(3)y3=normrnd(10,2,2,5),1),R=normrnd(,),：,产生一个正态分布随机数,2)R=normrnd(,m,n),产生,m,行,n,列的正态分布随机数,当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布。,机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布。,3、指数分布随机数,例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数，,2行6列的随机数。,命令,(,1)y1=exprnd(0.1),(2)y2=exprnd(0.1,1,20),(3)y3=exprnd(0.1,2,6),1)R=exprnd(,),：产生一个指数分布随机数,2)R=exprnd(,m,n),产生,m,行,n,列的指数分布随机数,结果,(,1)y1=0.0051,(2)y2=0.1465 0.0499 0.0722 0.0115 0.0272,0.0784 0.3990 0.0197 0.0810 0.0485 0.0233,(3),y3=0.1042 0.4619 0.1596 0.0505 0.1615 0.0292；,0.0207 0.1974 0.1616 0.1301 0.4182 0.0809,排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。,例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为,0.1,的指数分布,指数分布的均值为,1/0.1=10。,指两个顾客到达商店的平均间隔时间是,10,个单位时间.即平均,10,个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用,exprnd(10),模拟。,4、二项分布随机数,例4、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数，,3行6列的随机数。,命令,(,1)y1=binornd(10,0.8),(2)y2=binornd(10,0.8,1,15),(3)y3=binornd(10,0.8,3,6),R=binornd(n,p),：产生一个二项分布随机数,2)R=binornd(n,p,m,n),产生,m,行,n,列的二项分布随机数,2,0,、其他分布随机数的产生方法,定理,设,X,的分布函数为,F(x)，,连续且严格单调上升，,它的反函数存在，且记为,F,-1,(x)，,则,F(X)U(0,1),若随机变量UU(0,1),则,F,-1,(U)的分布函数为,F(x),。,此定理给出的构造分布函数为,F,(,x,)的随机数的产生方法为：,取U(0,1)随机数U,i,(i=1,2),令X,i,=F,-1,(U,i,),则X,i,(i=1,2),就是F(x)随机数，如果U,i,独立，则X,i,也互相独立。,（一）直接抽样法（反函数法）,（1）连续分布的直接抽样法,设连续型随机变量,X,的分布函数为,F(x)，,则产生随机数的方法为：,取U(0,1)随机数U,i,(i=1,2),令X,i,=F(U,i,),则X,i,(i=1,2),就是F(x)随机数，如果U,i,独立，则X,i,也互相独立。,设分布律为,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,i,=1,2,.，其分布函数为,F(x),（2）离散分布的直接抽样法,产生均匀随机数,R,，即,R,U,(0,1),则,XF(x),（二）变换抽样法,（三）值序抽样法,（四）舍选抽样法,（五）复合抽样法（合成法）,（六）近似抽样法,详见：高惠璇 北京大学出版社统计计算,例5、,设,X,分布,函数为,解：,Y,的分布函数为,其反函数为,生成,n=20,的,1,行10列随机数,命令：,U=unifrnd(0,1,1,10);,Y=1-(1-U).(1/20);,设,则,例,6,生成单位圆上均匀分布的,1,行,10000,列随机数，并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);,%(0,2pi)上均匀分布随机数,xRandnum=cos(Randnum);%横坐标,yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标,plot(xRandnum,yRandnum);,例,6,频率的稳定性,1、,事件的频率,在一组不变的条件下，重复作,n,次试验,，,记,m,是,n,次试验中事件,A,发生的次数。,频率,f=m/n,2.,频率的稳定性,在重复试验中，事件,A,的频率总在一个定值附近摆动，,而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度,越来越小，呈现出一定的稳定性.,掷一枚硬币，记录掷硬币试验中频率,P*,的波动情况。,(1)模拟产生,n,个,0,-,1,分布随机数,randnum,(,n,),(2)对模拟产生的随机数，,xrandnum,(,i,)表示,第,i,次试验的结果，,1,表示正面向上，0表示反,面向上。,(3)统计前,i,次试验中正面向上的次数，,并计算频率,（4）作图(关于频率和试验次数的图像）,p,为,正面向上的概率，,n,为试验次数,在,Matlab,中编辑,.m,文件输入以下命令：,function binomoni(p,n),pro=zeros(1,n);%频率向量,randnum=binornd(1,p,1,n);%产生二项分布随机数,a=0;,for i=1:n,a=a+randnum(1,i);%频数,pro(i)=a/i;%频率,end,pro=pro;,num=1:n;,plot(num,pro,num,p),在,Matlab,命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,1000),在,Matlab,命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,10000),在,Matlab,命令行中输入以下命令：,binomoni(0.3,1000),1、表示位置的统计量平均值和中位数,平均值（或均值，数学期望）：,中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置,的那个数值.,二、常用统计量,平均值：,mean(,x,),中位数：median(x),若x为矢量，返回平均值和中位数，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的平均值和中位数,2、表示变异（离散）程度的统计量,方差、标准差、极差,样本方差：,它是各个数据与均值偏离程度的度量,标准差：是方差的开方,极差：样本中最大值与最小值之差.,标准差：std(,x,),方差：var(,x,),极差：range(,x,),例7：产生5组正态分布随机数，每组100个，计算均值、中位数、标准差、极差、方差。,x=normrnd(0,1,100,5);,mean1=mean(x),median1=median(x),std1=std(x),var1=var(x),rang1=range(x),3.,表示分布形状的量偏度和峰度,分布偏度：,其估计量为：,其中,命令：y=skewness(x),若x为矢量，返回样本偏度，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的样本偏度。,正态分布偏度为0，偏度反映分布的对称性，g,1,0称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；g,1,0称为左偏态，情况相反；而g,1,接近0则可认为分布是对称的.,分布峰度,其估计量为：,其中,命令：y=kurtosis(x),若x为矢量，返回x的样本峰度，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的样本峰度。,峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若g,2,比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一,例8：产生5组正态分布随机数，每组100个，计算样本偏度和峰度。,x=normrnd(0,1,100,5);,skewness1=skewness(x),kurtosis1=kurtosis(x),例9：产生5组指数分布随机数，每组100个，计算样本偏度和峰度。,x=exprnd(10,100,5,);,skewness1=skewness(x),kurtosis1=kurtosis(x),三、分布函数的近似求法（直方图）,1、经验分布函数（累计频率直方图）,Empirical Cumulative Distribution Function,定义：,设,x,1,，,x,2,，,x,n,是总体的容量为,n,的样,本值，将其按由小到大的顺序排列，并,重新编号，记为,则经验分布函数为：,总体分布函数的近似,2、频率直方图近似概率密度函数,下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法,1、整理资料：把样本值,x,1,，,x,2,，,x,n,进行分组，先将它们依大小次序排列，得,在包含,的区间,a,，,b,内插入,m,-1个等分点：,注意要使每一个区间,(,i=1,，2，,m,),内都有样本观测值,x,i,（,i,=1，2，,n,-1）落入其中.,记,t,0,=,a,t,m,=,b,。第,i,个小区间为,2、求出各组的频数和频率：,统计出样本观测值在每个区间,中出现的次数,它就是这区间或这组的频数，,计算频率,累计频数为,累计频率为,3、作图：,记：,其中,d,为区间长度,，以小区间,为底,，以,为高作长方形(,i=1,2,m,),这样画出一排竖着的长方形极为频