概率论与数理统计3至4

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,应用多元统计分析,第三章,多元正态总体参数的假设检验,1,3.1,几个重要统计量的分布,一、,正态变量二次型的分布,二、,威沙特分布,三、,霍特林,T,2,分布,3.2,单总体均值向量的检验,3.3,协差阵的检验,第三章 多元正态总体参数的假设检验,2,一元统计中,参数,2,的检验涉及到一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题;,推广到,p,元统计分析中,，,类似地对参数向量,和参数矩阵,涉及到的检验也有一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题。,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3,在一元统计中，用于检验,2,的抽样分布有,2,分布,t,分布,F,分布等,它们都是由来自总体,N(,2,),的样本导出的检验统计量.,推广到多元统计分析后，也有相应于以上三个常用分布的统计量:,Wishart,Hotelling,T,2,Wilks,统计量,讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础,.,第三章 多元正态总体参数的假设检验,4,设,X,i,N,1,(,i,2,)(,i,=1,.,n,),且相互独立，记,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,一般情况(,i,0，,2,1,时),结论,1,5,结论2,当,i,0(,i,=1,n,),2,=,1,时,XX,的分布常称为非中心,2,分布.,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,定义3.1.1,设,n,维随机向量,X,N,n,(,I,n,),(,0),则称随机变量,X,X,为服从,n,个自由度,非中心参数,的,2,分布，记为,6,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,则,结论3,设,X,N,n,(,0,2,I,n,),A,为,n,阶对称方阵,rk(,A,)=,r,则 二次型,X,AX,/,2,2,(,r,),A,2,A,(,A,为对称幂等阵),.,特例,:,当,A,=,I,n,时,7,证明,(充分性)因,A,为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有,r,个非0特征值，即存在正交阵,(,其列向量,r,i,为相应特征向量)，使,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,8,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,必要性证明不要求,(,利用特征函数,).,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的,正态变量的二次型,则,(必要性) 因,A,为对称阵，所以存在正交阵,使:,A,diag(,1,r,，0,0).,令,Y,=,X,N（0,2,I,n,）,X=,Y,且,Y,1,，,Y,r,相互独立同,N(0,2,),分布.,故而,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的,正态变量的二次型,(,i,1,r,),且相互独立,.,又已知,X,AX,/,2,2,(,r,)，,故,的特征函数为,(1-2,it,),-,r,/2,Z,i,=,i,Z,i,的特征函数为(,1-2,i,i,t,),-,1,/2,又,Z,1,Z,2,.,Z,r,且相互独立,.,故有,11,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的,正态变量的二次型,diag(1,1,0,0)=,A,=,A,A,=,A,2,故,A,A,2,，,即,A,为对称幂等阵.,利用同分布的特征函数相同,可得出,1,r,=1 .,12,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的,正态变量的二次型,结论4,设,X,N,n,(,2,I,n,),A,为对称阵,且,rk(,A,)=,r,则二次型,A,2,A,(,A,为对称幂等阵).,(充分性的证明类似于结论3中充分性的证明方法,必要性证明不要求,),13,证明,(充分性)因,A,为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有,r,个非0特征值，即存在正交阵,(,其列向量,r,i,为相应特征向量)，使,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,14,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,其中非中心参数为,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,非中心,t,分布和,F,分布,定义3.1.2,定义3.1.3,17,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,非中心,t,分布的应用,一元统计中，关于一个正态总体,N(,2,),的均值检验中，检验,H,0,：,0,时，检验统计量,否定域为|,T,|,，,其中,满足：,P|,T,|,=(,显著性水平).,18,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,非中心,t,分布的应用,当否定,H,0,时，可能犯第一类错误，且,第一类错误的概率,P,“,以真当假,”,P|,T,|,|,0,显著性水平,.,当,H,0,相容时，可能犯第二类错误，且,第二类错误的概率,P“,以假当真”,P|,T,|,|,=,1,0,=,.,此时检验统计量,T,t,(,n,-1,),利用非中心,t,分布可以计算第二类错误,的值.,19,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布(威沙特分布),Wishart,分布是一元统计中,2,分布的推广.多元正态总体,N,p,(,),中,常用样本均值向量,X,作为,的估计，样本协差阵,S,A,/(,n,-1),作为,的估计.由第二章的定理2.5.2已给出了,X,N,p,(,/,n,).,S,?,.,一元统计中，用样本方差,作为,2,的估计，而且知道,20,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布(威沙特分布),推广到,p,元正态总体,样本协差阵,SA/,(,n-,1),及随机矩阵,A,(,离差阵)的分布是什么?,设,X,(,),(,1,n,),为来自,N,p,(0,),的随机样本,考虑随机矩阵,的分布.当,p,=1,时,，,21,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布(威沙特分布),推广到,p,维正态总体时，随机矩阵,W,的分布是什么?,定义3.1.4,设,X,(,),N,p,(0,) (,1,n,),相,互独立，则称随机矩阵,的分布为,Wishart,分布(威沙特分布)，记,为,W,W,p,(,n,).,显然,p,=1,时 , 即,22,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布(威沙特分布),一般地,设,X,(,),N,p,(,) (,1,n,),相互独立,记,则称,W,X,X,服从非中心参数为,的非中心,Wishart,分布,记为,W,W,p,(,n,).,其中,23,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布(威沙特分布),当,X,(,),N,p,(,) (,1,n,),相互独立时，非中心参数,这里,其中,p,为随机矩阵,W,的阶数,n,为自由度,一元统计中的,2,对应,p,元统计中的协差阵,.,24,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,性质1,设,X,(,),N,p,(,) (,1,n,),相互独立，则样本离差阵,A,服从,Wishart,分布，即,证明,根据第二章,2.5,的定理2.5.2知,而,Z,N,p,(0,)(,=1,n,-1),相互独立,由定义 3.1.4可知,A,W,p,(,n,-1,).,25,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,由于,Wishart,分布是,2,分布的推广,它具有,2,分布的一些性质.,性质2,关于自由度,n,具有可加性：,设,W,i,W,p,(,n,i,) (,i,1,k,),相互独立，则,性质3,设,p,阶随机阵,W,W,p,(,n,),C,是,mp,常数阵,则,m,阶随机阵,CWC,也服从,Wishart,分布,即,CWC,W,m,(,n,CC,).,26,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,证明,其中,Z,N,p,(0,)(,=1,n,),相互独立.,令,Y,=,CZ,则,Y,N,m,(0,CC,).,故,由定义,3.1.4,有,:,27,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,aW,W,p,(,n,a,) (,a,0，,为常数).,在性质3 中只须取,C,a,1/2,I,p,，,即得此结论.,特例：, 设,l,(,l,1,l,p,)，,则,l,Wl, W,1,(,n,l,l,),即,2,2,(,n,) (,其中,2,l,l,).,在性质3中只须取,C,l,即得此结论.,28,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,性质,4,分块,Wishart,矩阵的分布:设,X,(,),N,p,(0,) (,1,n,),相互独立，其中,又已知随机矩阵,则,29,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,性质5,设随机矩阵,W,W,p,(,n,)，,记,则,相互独立。其中,(,性质,5,性质,7,和性质,8,不要求,),30,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Wishart,分布,的性质,性质6,设随机矩阵,W,W,p,(,n,)，,则,E(,W,),n,.,证明,:,由定义,3.1.4,知,其中,Z,N,p,(0,)(,=1,n,),相互独立.则,31,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布,一元统计中, 若,X,N(0,1),2,(,n,) ,X,与,相互独立,则随机变量,下面把 的分布推广到,p,元总体.,设总体,X,N,p,(0,)，,随机阵,W,W,p,(,n,),我们来讨论,T,2,nX,W,-1,X,的分布,.,32,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布,定义3.1.5,设,X,N,p,(0,),随机阵,W,W,p,(,n,),(,0,n,p,),且,X,与,W,相互独立, 则称统计量,T,2,nXW,-1,X,为,Hotelling,T,2,统计量,其分布称为服从,n,个自由度的,T,2,分布,记为,T,2, T,2,(,p,n,).,更一般地,若,X,N,p,(,) (0),则称,T,2,的分布为,非中心,Hotelling,T,2,分布，记为,T,2,T,2,(,p,n,).,33,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,性质1,设,X,(,),N,p,(,) (,1,n,),是来自,p,元总体,N,p,(,),的随机样本,X,和,A,分别为总体,N,p,(,),的样本均值向量和离差阵,则统计量,事实上,因,34,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,而,A,W,p,(,n,-1,),且,A,与,X,相互独立.由定义 3.1.5知,35,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,性质2,T,2,与,F,分布的关系,:,设,T,2,T,2,(,p,n,),，,则,在一元统计中,36,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,当,p,=1,时,一维总体,X,N(0,2,)，,所以 注意:因,这是性质2的特例,:,即,p,=1,时,T,2,F(1,n,).,37,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,一般地：,(,性质,2,的严格证明见参考文献,2),其中,X,-1,X,2,(,p,) (0)，,还可以证明,2,(,n,-,p,+1),且,与,独立.,38,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,性质,3,设,X,N,p,(,),随机阵,W,W,p,(,n,),(,0,n,p,),且,X,与,W,相互独立,T,2,nXW,-,1,X,为非中心,Hotelling,T,2,统计量(,T,2, T,2,(,p,n,).,则,其中非中心参数,.,39,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,或,性质,3,设,X,(,),N,p,(,) (,1,n,),是来自,p,元总体,N,p,(,),的随机样本,X,和,A,分别为样本均值向量和离差阵,.,记,40,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,一元统计中(,p,=1,时),t,统计量与参数,2,无关,.,类似地有以下性质,.,性质,4,T,2,统计量的分布只与,p,n,有关,而与,无关,.,即,41,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,事实上,因,X,N,p,(0,) (0),W,W,p,(,n,),则,-1/2,X,N,p,(0,I,p,)，,因此,42,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,性质,5,在非退化的线性变换下,T,2,统计量保持不变,设,X,(,),(,1,n,),是来自,p,元总体,N,p,(,),的随机样本,X,x,和,A,x,分别表示正态总体,X,的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,43,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.1 几个重要统计量的分布-,Hotelling,T,2,分布的性质,令,其中,C,是,p,p,非退化常数矩阵，,d,是,p,1,常向量。则可证明：,44,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,在多元统计分析中,考虑的总体是,p,维正态总体,N,p,(,),关于均值向量的检验问题经常是需要的.,p,元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量,关于均值向量的检验问题能否化为,p,个一元正态的均值检验问题呢?显然这是不完全的.因为,p,个分量之间往往有互相依赖的关系,分开作检验,往往得不出正确的结论.但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量,用来对均值向量进行检验,.,45,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,关于均值向量的检验包括:, 一个,p,元正态总体,N,p,(,),检验,H,0,: ,0,;, 二个,p,元正态总体,N,p,(,1,1,),和,N,p,(,2,2,)，,检验,H,0,: ,1,2,k,个,p,元正态总体,N,p,(,i,)(,i,1,k,),当协差阵相等时检验,k,个均值向量是否全相等(即多元方差分析).,46,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,设总体,X,N,p,(,),随机样本,X,(,),(,1,n,).,检验,H,0,: ,0,(,0,为已知向量),H,1,: ,0,1. 当,0,已知时均值向量的检验,利用二次型分布的结论,(,“,2.,结论,1,”,),知,47,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,取检验统计量为,按传统的检验方法,对给定的显著水平,查,2,分布临界值表得,:,48,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,由样本值,x,(,),(,1,n,),计算,X,及,T,2,0,值,若,T,2,0,则否定,H,0,否则,H,0,相容.,利用统计软件(如,SAS,系统),还可以通过计算显著性概率值(,p,值)给出检验结果,且由此得出的结论更丰富.,假设在,H,0,成立情况下,随机变量,T,2,0,2,(,p,),由样本值计算得到,T,2,0,的值为,d,可以计算以下概率值：,p,=P,T,2,0,d,常称此概率值为,显著性概率值,，或简称为,p,值,.,49,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,对给定的显著性水平,当,p,值,时,(,即,d,值大,X,与,偏差大,),则在显著性水平,下否定假设,H,0,；,在这种情况下,可能犯“以真当假”的第一类错误,且,就是犯第一类错误的概率.,当,p,值,时,(,即,d,值小,X,与,偏差小,),则在显著性水平,下,H,0,相容；在这种情况下，可能犯“以假当真”的第二类错误,且犯第二类错误的概率,为,=P,T,2,0,|,当,=,1,0,其中检验统计量,T,2,0,2,(,p,),非中心参数,=,n,(,1,- ,0,)(,0,),-1,(,1,- ,0,).,50,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,p,值的直观含义可以这样看,检验统计量,T,2,0,的大小反映,X,与,0,的偏差大小,当,H,0,成立时,T,2,0,值应较小.现在由观测数据计算,T,2,0,值为,d,；,当,H,0,成立时统计量,T,2,0, ,2,(,p,),由,2,分布可以计算该统计量,d,的概率值(即,p,值).,比如,p,值=0.02,=0.05,表示在, ,0,的假设下，观测数据中极少会出现,T,2,0,的值大于等于,d,值的情况，故在0.05的水平下有足够的证据否定原假设，即认为,与,0,有显著地差异.,51,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,又比如当,p,值=0.22,=0.05,时,表示在,0,的假设下，观测数据中经常会出现,T,2,0,的值大于等于,d,值的情况，故在0.05的水平下没有足够的证据否定原假设， 即认为,与,0,没有显著地差异.,52,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,2. 当,未知时均值向量的检验,当,p,=1,时(一元统计)，取检验统计量为,或等价地取检验统计量,53,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,推广到多元,考虑统计量,因,离差阵,54,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,由定义3.1.5可知,利用,T,2,与,F,分布的关系，检验统计量取为,55,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,例3.2.1,人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(,X,1,)、,钠的含量(,X,2,),和钾的含量(,X,3,)(,数据见表3.1).试检验,H,0,:=,0,=(4,50,10)， H,1,: ,0,.,56,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,解,记随机向量,X,= (,X,1,X,2,X,3,),假定,XN,3,(,) .,检验,H,0,: ,0,， H,1,：,0,.,取检验统计量为,由样本值计算得,:,57,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,58,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,对给定,=0.05,按传统的检验方法,可查,F,分布临界值表得,=,F,3,17,(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的,F,值及临界值,因,F,值=2.90453.2,故,H,0,相容.,利用统计软件进行检验时,首先计算,p,值(此时检验统计量,F,F,(3,17)：,p,=P,F,2.9045=0.06493 .,因,p,值=0.064930.05=,故,H,0,相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为,=P,F,3.2|,=,X,=0.3616,(,假定总体均值,=,1,0,取,1,=,X,).,59,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,proc,iml,;,n=20; p=3;,m0=4 50 10;,use d321;,/*,使用,SAS,数据集,d321,中的3个变量,*/,xa,=x1 x2 x3;,read all,var,xa,into x;,/*,把,d321,中三个变量的所有观测数据读入矩阵,X,*/,ln,=,20,1 ;,/*,行向量,ln,由20个均为1的元素组成,*/,x0=(,ln,*x)/n ; /*,计算样本均值行向量,X */,xm,=x0-m0; ,以上计算结果可以用,SAS/IML,计算,SAS,程序如下,(假设表3.1的数据已生成名为,d321,的,SAS,数据集)：,(,yydy321a.sas),60,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,mm=i(20)-j(20,20,1)/n; /*,计算矩阵(,I,n,-,J,/,n,) */,a=x*mm*x;,/* x,表示计算矩阵,X,的转置,*/,ai,=inv(a);,/*,计算样本离差阵,A,和,A,的逆,*/,dd,=,xm,*,ai,*,xm,; d2=,dd,*(n-1);,t2=n*d2;,/*,计算,D,2,和,T,2,*/,f=(n-p)*t2/(n-1)*p);,/*,计算检验统计量,F,值,*/,print x0 a,ai,d2 t2 f;,/*,输出有关计算结果,*/,p0=1-probf(f,p,n-p);,/*,计算显著性概率值(,p,值),*/,fa,=finv(0.95,3,17);,/*,计算,=0.05,的临界值, */,beta=probf(fa,p,n-p,t2);,/*,计算第二类错误,值,*/,print p0 beta;,run;,61,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,proc,iml,;,n=20; p=3;,x=3.7 48.5 9.3 , 5.7 65.1 8.0 , 3.8 47.2 10.9 ,3.2 53.2 12.0 , 3.1 55.5 9.7 , 4.6 36.1 7.9 ,2.4 24.8 14.0 , 7.2 33.1 7.6 , 6.7 47.4 8.5 ,5.4 54.1 11.3 , 3.9 36.9 12.7 , 4.5 58.8 12.3 ,3.5 27.8 9.8 , 4.5 40.2 8.4 , 1.5 13.5 10.1 ,8.5 56.4 7.1 , 4.5 71.6 8.2 , 6.5 52.8 10.9 ,4.1 44.1 11.2 , 5.5 40.9 9.4 ;,m0=4 50 10;,ln,=20 1 ;,x0=(,ln,*x)/n; print x0;,解二: (,yydy321b.sas),62,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.2 单总体均值向量的检验,例,3.2.1,xm,=x0-m0; print,xm,;,mm=i(20)-j(20,20,1)/n;,a=x*mm*x; print a;,ai,=inv(a); print,ai,;,dd,=,xm,*,ai,*,xm,; d2=(n-1)*,dd,;,t2=n*d2;,f=(n-p)*t2/(n-1)*p);,print,dd,d2 t2 f;,p0=1-probf(f,p,n-p);,print p0;,fa,=finv(0.95,p,n-p);,beta=probf(fa,p,n-p,t2);,print,fa,beta;,run;,63,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,设,X,(,),(,=1,n,),为来自,p,元正态总体,N,p,(,),(0,未知)的随机样本,检验,H,0,: ,0,(,0,0,为已知阵)，,H,1,:,0,1. 当,0,I,p,时检验,H,0,:,I,p,，H,1,:,I,p,利用似然比原则来导出检验统计量,1,当,I,p,成立时,似然函数,L,(,I,p,),在,X,达最大值.,附录,64,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,所以,似然比统计量,其中,65,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,利用定理3.2.1可知,当,n,很大且,H,0,成立时,=-2ln,1,的近似分布为,2,(,p,(,p,+1)/2)，,参数空间,的维数为,p+p,(,p,+1)/2,而,0,的维数为,p,故卡方分布的自由度,为,p,(,p,+1)/2.,取,作为检验统计量,按传统检验方法,对给定显著性水平,否定域为,2,其中,2,满足：,P ,2,=.,66,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,2. 当,0,I,p,时检验,H,0,:,0,H,1,:,0,因,0,0，,存在,p,阶非退化阵,D,，,使,D,0,D,I,p,，,令,Y,(,),=,DX,(,),(1,n,)，,则,Y,(,),N,p,(,D,，,DD,)=N,p,(*，,*,),检验,H,0,:,0,H,0,:,*,I,p,从新样本,Y,(,),(,=1,n,),出发，检验,H,0,：,*,I,p,的检验统计量取为,记为,67,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,其中,若注意到,D,0,D,I,p,即,68,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,研究似然比统计量,2,的抽样分布是很困难的.通常根据定理3.2.1由,2,的近似分布来构造检验法.,当样本容量,n,很大，在,H,0,成立时，,-2,ln,2,的极限分布为,2,(,p,(,p,+1)/2).,除此外在不同适用范围下还有其它近似分布可用来构造检验法.,则似然比统计量,2,还可以表示为,69,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,3. 检验,H,0,：,2,0,(,2,未知),当,0,I,p,时此检验常称为球性检验.利用似然比原则来导出检验统计量,3,：,当,2,给定时,似然函数,L(,2,0,),在,=X,达最大值,且,70,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,可得出,71,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-单个,p,元正态总体,所以似然比统计量,或等价于,当样本容量,n,很大，在,H,0,为真时有以下近似分布：,72,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体,设有,k,个总体,N,p,(,t,t,)(,t,=1,k,),X,(,t,),(,),(,t,1,k,;,1,n,t,),来自第,t,个总体,N,p,(,(,t,),t,),的随机样本,记,n,n,1,+,n,2,+,n,k,.,检验,H,0,:,1,=,2,=,k,H,1,:,1, ,2,k,不全相等.,样本,X,(,t,),(,),的似然函数为,似然比统计量,4,为,73,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体,74,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体,则似然比检验统计量为,(,其中,A,=,A,1,+,A,k,),75,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体,根据无偏性的要求进行修正,将,4,中的,n,i,用,n,i,-1,替代,n,用,n,-,k,替代.然后对,4,取对数,可得到统计量：,当样本容量,n,很大时,在,H,0,为真时,M,有以下近似分布：, (1-,d,),M,=-2(1-,d,)ln,4,*,2,(,f,),其中,f,=,p,(,p,+1)(,k,-1) /2,76,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.,3,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体(例),例3.3.1,对例3.2.3表3.3中给出的身体指标化验数据,试判断三个组(即三个总体)的协差阵是否相(,=0.10)?,解,这是三个4维正态总体的协差阵是否相等的检验问题.设第,i,组为4维总体,N,4,(,(,i,),i,)(,i,=1,2,3).,来自三个总体的样本容量,n,1,=,n,2,=,n,3,=20.,检验,H,0,:,1,2,3,H,1,:,1,2,3,至少有一对不相等.在,H,0,成立时,取近似检验统计量为,2,(,f,),统计量：,由样本值计算三个总体的样本协差阵：,77,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.4,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体(例),78,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.4,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体(例),79,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.4,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体(例),进一步计算可得,80,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3.4,协差阵的检验-,多个,p,元正态总体(例),对给定,=0.10,利用统计软件(如,SAS,系统)，首先计算,p,值(设检验统计量,2,(20)：,p,=,P, 20.331621=0.4373646.,因,p,值=0.43736460.10=,，,故,H,0,相容,这表明三个组的协差阵之间没有显著的差异.,81,