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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本节内容,2.6,菱 形,2.6.2,菱形的判定,如图,2-52,，用,4,支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？,动脑筋,图,2-52,下面我们来证明这个结论.,AD = BC,，,AB = DC,，,如图,2-53,，在四边形,ABCD,中，,AB=BC=CD=DA,.,四边形,ABCD,是平行四边形,.,四边形,ABCD,是菱形,.,图,2-53,又,AB = AD,，,结论,四条边都相等的四边形,是菱形,.,由此得到菱形的判定定理,1,：,举,例,已知：如图,2-54,，,在四边形,ABCD,中，线段,BD,垂直平分,AC,，且相交于点,O,，,1 =2.,求证：四边形,ABCD,是菱形,.,例,2,图,2-54,证明,由于,线段,BD,垂直平分,AC,，,因此,BA=BC,，,DA=DC,，,OA=OC,.,在,AOB,和,COD,中，,有,1 =2,，,AOB=,COD,，,OA,=,OC,.,所以,OAB,OCD,.,从而,AB,=,CD,.,因此四边形,ABCD,是菱形,.,(,四条边都相等,的四边形是菱形,),所以,BA=BC,=,DA=DC.,图,2-54,菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分,.,从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？,过点,O,画两条互相垂直的线段,AC,和,BD,，,使得,OA,=,OC,，,OB,=,OD,.,连结,AB,，,BC,，,CD,，,DA,，,则四边形,ABCD,是菱形,，,如图,2-55.,图,2-55,动脑筋,如图,2-55,，由画法可知，四边形,ABCD,的两条对角线,AC,与,BD,互相平分，因此它是平行四边形,.,又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？,你能说出这样画出的四边形,ABCD,一定是菱形的道理吗？,图,2-55,我们来进行证明.,又由于,DB,是线段,AC,的垂直平分线，,由于四边形,ABCD,的两条对角线,AC,与,BD,互相平分，因此它是平行四边形,.,因此，,DA,=,DC,.,从而平行四边形,ABCD,是菱形,.,图,2-55,结论,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,.,由此得到菱形的判定定理,2,：,举,例,如图2-56，在,平行四边形,ABCD,中，,AC =,6，,BD,= 8，,AD,= 5. 求,AB,的长.,例,3,图,2-56,AB=AD=,5,.,解,四边形,ABCD,为平行四边形，,DAO,是直角三角形,.,DOA,= 90,，即,DB,AC.,平行四边形,ABCD,是菱形,.,（对角线互相垂直,的平行四边形是菱形）,又,AD=,5,，满足 ，,图,2-56,1.,画一个菱形，使它的两条对角线长度分,别为,4cm,，,3cm.,练习,提示：作一条线段长为,4cm,，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取,1.5cm,的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形,.,4cm,1.5cm,1.5cm,练习,如图，在,平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，过点,O,作,MN,BD,，分别交,AD,，,BC,于点,M,，,N,.,求证：四边形,BNDM,是菱形,.,2.,证明 由于,平行四边形,ABCD,，,所以,MD,BN,，,ADB,=,CBD,，,DMN,=,BNM,，,OB=OD.,所以,ODM,OBN,.,所以,NB=MD.,又,MD,BN,，,MN,BD,，,所以四边形,BNDM,是菱形,.,中考 试题,例,1,如图，如果要使,ABCD,成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是,.,AB,=,AD,或,AC,BD,等,解析,考查菱形的判定定理,.,中考 试题,例,2,如图，已知等腰,ABC,中，,AB,=,AC,，,AD,平分,BAC,交,BC,于,D,点，在线段,AD,上任取一点,P,(,A,点除外,),，过,P,点作,EF,AB,，分别交,AC,、,BC,于,E,、,F,点，,作,PM,AC,，交,AB,于,M,点，连结,ME,.,（,1,）求证：四边形,AEPM,为菱形,.,（,2,）当,P,点在何处时，菱形,AEPM,的面积为,四边形,EFBM,面积的一半？,（,1,）,EF,AB,，,PM,AC,，,四边形,AEPM,为平行四边形,.,AB=AC,，,AD,平分,CAB,，,CAD,=,BAD,，,AD,BC,.,又,BAD,=,EPA,，,CAD,=,EPA,，,EA,=,EP,.,四边形,AEPM,为菱形,.,解析,则,N,（,2,）,P,为,EF,中点时，,四边形,AEPM,为菱形，,AD,EM,，,AD,BC,，,EM,BC,.,又,EF,AB,，,四边形,EFBM,为平行四边形,.,作,EN,AB,于,N,，,中考 试题,例,3,如图，在四边形,ABCD,中，,E,为,AB,上一点，,ADE,和,BCE,都是等边三角形，,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点分别为,P,、,Q,、,M,、,N,，试判断四边形,PQMN,为怎样的四边形，并证明你的结论,.,四边形,PQMN,为菱形,.,连结,AC,，,BD,.,PQ,为,ABC,的中位线，,同理,四边形,PQMN,为平行四边形,.,在,AEC,和,DEB,中，,AE,=,DE,，,EC,=,EB,，,AEC,=,DEB=,180,-,60,=,120,，,AEC,DEB,.,AC,=,DB,.,PQ,=,PN,.,PQMN,为菱形,.,证明,结 束,
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