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第,8,课 列方程,(,组,),解应用题,1,列方程,(,组,),解应用题的一般步骤：,(1),；,(2),；,(3),找出包含未知数的,；,(4),；,(5),；,(6),要点梳理,审题,设元,等量关系,列出方程,(,组,),求出方程,(,组,),的解,检验并作答,2,各类应用题的等量关系：,(1),行程问题：路程速度,时间；,相遇问题：两者路程之和全程；,追及问题：快者路程慢者先走路程,(,或相距路程,),慢者,后走路程,(2),工程问题：工作量工作效率,工作时间,(3),几何图形问题：,面积问题：,S,长方形,ab,(,a,、,b,分别表示长和宽,),；,S,正方形,a,2,(,a,表示边长,),；,S,圆,r,2,(,r,表示圆的半径,),体积问题：,V,长方体,abh,(,a,、,b,、,h,分别表示长、宽、高,),；,V,正方体,a,3,(,a,表示边长,),；,V,圆锥,r,2,h,(,r,表示底面圆的半径，,h,表示高,),；,其它几何图形问题：如线段、周长等,(4),增长率问题：如果基数用,a,表示，末数用,A,表示，,x,表示增长率，时间间隔用,n,表示，那么增长率问题的数量关系是：,a,(1,x,),n,A,.,(5),利润问题：,利润销售价进货价；,利润率 ；,销售价,(1,利润率,),进货价,(6),利息问题：,利息本金,利率,期数；,本息和本金利息,1,正确理解方程是一种重要的数学模型,实际生活中的许多问题都与数学有关，我们需要将实际问题转化成数学问题，通过解决相应的数学问题去解决实际问题，这就是“数学建模”的意义方程是一种重要的数学模型，可以解决很多实际问题，构建刻画实际问题的一元一次方程、二元一次方程,(,组,),、一元二次方程等就是贯穿本课时的中心问题,2,掌握列方程,(,组,),解应用题的基本思想,列方程,(,组,),解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等,难点正本 疑点清源,1,(2011,日照,),某道路一侧原有路灯,106,盏，相邻两盏灯的距离为,36,米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为,70,米，则需更换的新型节能灯有,(,),A,54,盏,B,55,盏,C,56,盏,D,57,盏,解析：设需更换的新型节能灯有,x,盏， 则,70(,x,1),(106,1)36,，解之得,x,55.,基础自测,B,解析：小明准时到校所需时间可表示为 时或,时，所以 ,.,2,(2011,铜仁,),小明从家里骑自行车到学校，每小时骑,15km,，可早到,10,分钟，每小时骑,12km,就会迟到,5,分钟问他家到学校的路程是多少,km,？设他家到学校的路程是,x,km,，则据题意列出的方程是,(,),A., ,B., ,C., ,D.,10, ,5,A,3,(2010,宁夏,),甲、乙两种商品原来的单价和为,100,元，因市场变化，甲商品降价,10%,，乙商品提价,40%,，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了,20%.,若设甲、乙两种商品原来的单价分别为,x,元、,y,元，则下列方程组正确的是,(,),A.,B.,C.,D.,C,解析：调价后，甲商品的单价为,(1,10%),x,元，乙商品的单价为,(1,40%),y,元两种商品的单价和为,100(1,20%),故选,C.,4,(2011,兰州,),某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了,2070,张相片，如果全班有,x,名学生，根据题意，列出方程为,(,),A,x,(,x,1),2070 B,x,(,x,1),2070,C,2,x,(,x,1),2070 D.,2070,解析：每名学生向其他同学送了,(,x,1),张照片，所以有,x,(,x,1),2070.,A,5,(2010,毕节,),某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，,2008,年投入,3000,万元，预计,2010,年投入,5000,万元设教育经费的年平均增长率为,x,，根据题意，下面所列方程正确的是,(,),A,3000(1,x,),2,5000,B,3000,x,2,50000,C,3000(1,x,%),2,50000,D,3000(1,x,),3000(1,x,),2,5000,解析：,2009,年该县投入,3000,3000,x,3000(1,x,),万元，,2010,年投入,3000(1,x,),3000(1,x,),x,3000(1,x,),2,万元,故选,A.,A,题型一一元一次方程的应用,【,例,1】,目前某省小学和初中在校生共,136,万人，小学在校生人数比初中在校生人数的,2,倍少,2,万人问目前这个省小学和初中在校生各有多少万人？,解：设这个省初中在校生,x,万人，,则小学在校生,(2,x,2),万人,x,(2,x,2),136,3,x,138,，,x,46,，,2,x,2,90.,答：目前这个省初中在校生,46,万人，小学在校生,90,万人,题型分类 深度剖析,探究提高,列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，推导出相等关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用,知能迁移,1,(2010,海南,)2010,年上海世博会入园门票有,11,种之多，其中“指定日普通票”价格为,200,元一张，“指定日优惠票”价格为,120,元一张，某门票销售点在,5,月,1,日开幕式这一天共售出这两种门票,1200,张，收入,216000,元，该销售点这天分别售出这两种门票多少张？,解：设售出“指定日普通票”,x,张，则售出“指定日优惠票”,(1200,x,),张,.,200,x,120(1200,x,),216000,，,解之，得,x,900,，,1200,x,300.,答：售出“指定日普通票”,900,张，售出“指定日优惠票”,300,张,题型二二元一次方程组的应用,【,例,2】,某刊物报道：“,2008,年,12,月,15,日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，大三通基本实现大三通最直接的好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省,4,小时，海运平均每航次可节省,22,小时，以两岸每年往来合计,500,万人次计算，则共可为民众节省,2900,万小时,”,根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次,解：设每年采用空运、海运往来两岸的人员分别是,x,万人次,及,y,万人次, 解之得,答：每年采用空运往来两岸的有,450,万人，海运有,50,万人,探究提高,本题考查学生的阅读能力和处理信息能力，学生需通过分析抽象出数学问题，然后用所学知识去解决,知能迁移,2,为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放,30,年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府,13%,的补贴,(,凭购物发票到乡镇财政所按,13%,领取补贴,),星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去,6000,元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的,2,倍还多,600,元,(1),李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？,(2),求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？,解：,(1)600013%,780(,元,),(2),设李伯伯家所买的摩托车单价是,x,元，彩电单价是,y,元，, 解之，得,答：李伯伯家所买的摩托车单价是,4200,元，彩电单价是,1800,元,车间,零件总个数,平均每小时生,产零件个数,所用时间,甲车间,600,x,乙车间,900,【,例,3】,甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产,30,个，甲车间生产,600,个零件与乙车间生产,900,个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产,x,个零件，请按要求解决下列问题：,(1),根据题意，填写下表：,x,30,(2),甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？,解： ，解之得,x,60,，,经检验：,x,60,是所列方程的解，,x,30,90.,答：甲车间平均每小时生产,60,个零件，乙车间平均每小时生,产,90,个零件,探究提高,1.,当要求的未知量有两个时，可以用字母,x,表示其中一个，再,根据两个未知量之间的关系，用含,x,的式子表示另一个量，解方程后再求出另一个未知量的值,.,2.,本题中工作时间工作量,工作效率，出现分式，宜用分式方程来解注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意,知能迁移,3,(2011,泰安,),某工厂承担了加工,2100,个机器零件的任务，甲车间单独加工了,900,个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前,12,天完成任务已知乙车间的工作效率是甲车间的,1.5,倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？,解：设甲车间每天加工零件,x,个，则乙车间每天加工零件,1.5,x,个,根据题意，得 ,12,，,解之，得,x,60.,经检验，,x,60,是方程的解，符合题意,1.5,x,90.,答：甲、乙两车间每天加工零件分别为,60,个、,90,个,.,题型四一元二次方程的应用,【,例,4】,新华商场销售某种冰箱，每台进货价为,2500,元，市场调研表明：当销售价为,2900,元时，平均每天能售出,8,台；而当销售价每降,50,元时，平均每天就能多售出,4,台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达,5000,元，每台冰箱的定价应为多少元？,解题示范,规范步骤，该得的分，一分不丢！,解：设每台冰箱降价,x,元,1,分,(2900,x,2500)(8,4),5000,，,4,分,(400,x,)(8,x,),5000,，,x,2,300,x,22500,0,，,(,x,150),2,0,，,x,1,x,2,150.,6,分,2900,150,2750.,7,分,答：每台冰箱的定价是,2750,元,8,分,探究提高,现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程，本题采用灵活的间接设未知数的方法,知能迁移,4,(2010,鞍山,),小华将勤工俭学挣得的,100,元钱按一年定期存入银行，到期后取出,50,元来购买学习用品，剩下的,50,元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和,63,元，求第一次存款的年利率,(,不计利息税,),解：设第一次存款的年利率是,x,，,100(1,x,),50(1,x,),63.,解得，,x,1, ，,x,2,(,舍去,),，,x, ,10%.,答：第一次存款的年利率,(,不计利息税,),是,10%.,4,解应用题勿以偏概全,考题再现,甲、乙两人分别从相距,30,千米的,A,、,B,两地同时相向而行，经过,3,小时后相距,3,千米，再经过,2,小时，甲到,B,地所剩的路程是乙到,A,地所剩路程的,2,倍，求甲、乙两人的速度,学生作答,解：设甲的速度为每小时,x,千米，乙的速度为每小时,y,千米，,得 解得,答：甲的速度为每小时,4,千米，乙的速度为每小时,5,千米,答题规范,规范解答,解：设甲的速度为每小时,x,千米，乙的速度为每小时,y,千米,当甲、乙两人相遇前相距,3,千米时，,得 解得,当甲、乙两人经过,3,小时相遇后又相距,3,千米时，,得 解得,答：甲的速度为每小时,4,千米，乙的速度为每小时,5,千米；,或甲的速度为每小时,5,千米，乙的速度为每小时,5,千米,老师忠告,1,有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误,2,分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则,3,一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析，一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大，因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜,.,方法与技巧,1.,应用问题是中学数学的重要内容它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义,思想方法 感悟提高,2,直接设未知元：在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法,间接设元：如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法,失误与防范,1,认真审题是解应用题的关键，借助图形能直观地帮助我们顺利解题与实际生活、生产相关的问题，应从实际出发，结果应与事实相符，不能仅从理论上去推断应用题一般文字较长，等量关系隐于文字叙述之中，故审题是至为关键的步骤，有时会因一字,(,词或数据,),的理解不清，就可能使结果面目全非,2,在行程问题中，反映等量关系的条件往往不是很明显，对这类问题最好是借助线段图，把数与形有机结合起来，要善于利用图形提取有用信息，一目了然，从而寻找到解题突破口,解决年龄问题，要注意：一个人年龄增大或减小，其他人的年龄也一样增大或减小，并且增大或减小的岁数是相同的，换句话说就是两人年龄的差是不变的,数字问题的设法：设个位数字为,a,，十位数字为,b,，百位数字为,c,，则这个三位数为,100,c,10,b,a,.,解此类问题采用的是间接设未知数法，也就是不直接设所求的多位数为未知数，而是设多位数某个数位上的数字为,x,，从而列方程解题,相遇和追及问题是行程问题中最常见的类型，解此类问题，常用的等量关系为：,(1),相遇问题,(,不同地出发，相向而行,),：甲行程乙行程甲、乙两地的路程；,(2),追及问题：同地不同时出发，前者走的路程追者行走的路程；同时不同地出发：追者行走的路程一前者走的路程两地距离,工程问题需牢记三个基本量的关系：工作量工作效率,工作时间常常用到的等量关系：两个或几个工作效率不同的对象,(,把前后两批人分别看做两个对象,),所完成的工作量之和等于工作总量一般情况下，把工作总量设为,1.,储蓄问题，首先要弄清以下几个概念：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫本息和，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率根据上述定义，每个期数内，利息,本金利率，所以利息本金,利率,期数，这个公式是解决储蓄问题时常用的相等关系式,应用题中的“多”、“少”关键词一定要理解好，结合题中叙述的事件进行分析“多”、“少”的意义，才能正确理解题意，列出方程有些应用题，由于题目所给条件较为隐蔽，符合题意的情况有多种解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样才不致失解否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误,完成考点跟踪训练,8,
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