北京大峪中学高三数学组石玉海

北京大峪中学高三数学组石玉海,*,复数的运算,第四章,数系的扩充_复数,4.2 复数的运算,1.对,虚数单位,i,的规定,i,2,=-1;,i,可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运,算律不变.,练习.,根据对虚数单位,i,的规定把下列运算的结果都化,为,a+bi,（,a,、,b,R,）的形式.,3(2+,i,)=,；(3-,i,),i,=,；,i,=,；,-5=,；0=,；2-,i,=,.,6+3,i,1+3,i,0+,i,-5+0,i,0+0,i,2+(-1),i,2.,我们把形如,a+b i,(其中,)的数,a,、,b,R,称为,复数,记作：,z,=,a+bi,，其中,a,叫做复数,的,、,b,叫做复数,的,.全体复数集记为,.,z,实部,z,虚部,C,有时把实部记成为Re(z);虚部记成为,I,m(z).,3.,由于,i,2,=,=-1，知,i,为-1的一个,、-1的另一个,;,一般地，,a,(,a,0)的平方根为,、,(-,i,),2,平方根,平方根为-,i,-,a,(,a,0)的平方根为,4.,复数,z,=,a+bi,(,a,、,b,R,),实数,小数,(,b,=0),有理数,无理数,分数,正分数,负分数,零,不循环小数,虚数,(,b,0),特别的当 a,=,0 时,纯虚数,a,=0是,z,=,a+bi,(,a,、,b,R,)为纯虚数的,条件.,必要但不充分,5.,两个,复数相等,设,z,1,=,a+bi,z,2,=,c+di,(,a,、,b,、,c,、,d,R,),则,z,1,=,z,2,即,实部等于实部,虚部等于虚部.,特别地，,a+bi,=0,.,a=b,=0,注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.,显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.,思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?,答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.,即:若z,1,z,2,z,1,z,2,R且z,1,z,2.,复数的四则运算,复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,，,最主要的是在运算中将,i,2,1,结合到实际运算过程中去,。,1.复数加减法的运算法则：,(1)运算法则:设复数z,1,=a+bi,z,2,=c+di,那么,z,1,+z,2,=(a+c)+(b+d)i;z,1,-z,2,=(a-c)+(b-d)i.,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分,别相加(减).,(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何,z,1,z,2,z,3,C,有z,1,+z,2,=z,2,+z,1,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,).,例1.计算,解:,2.复数的乘法与除法,(1)复数乘法的法则,复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得,的结果中把i,2,换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi,2,=(ac-bd)+(bc+ad)i.,(2)复数乘法的运算定理,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z,1,z,2,z,3,有z,1,z,2,=z,2,z,1,;(z,1,z,2,)z,3,=z,1,(z,2,z,3,);,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z,1,z,2,z,3,C及m,n,N*有z,m,z,n,=z,m+n,(z,m,),n,=,z,mn,(z,1,z,2,),n,=z,1,n,z,2,n,.,(3)复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即,(5)共轭复数的乘除性质:,(4)复数的一个重要性质,两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z z=|z|,2,=|z|,2,.,如果n,N*有:i,4n,=1;i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1;i,4n+3,=-i.(事实上,可以把它推广到n,Z.,设 ,则有:,事实上,与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于上面的三个等式.,(6)一些常用的计算结果,例2.计算,解:,例3.计算,解:,