常微分方程及其应用

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章微分方程,第一节微分方程的基本概念,第二节可分离变量的微分方程,第三节齐次方程,第四节一阶线性微分方程,第五节可降阶的高阶微分方程,第六节二阶常系数齐次线性微分方程,例一曲线通过点 ，且在该曲线上任意点,处的切线斜率为横坐标的两倍，求这曲线的方程。,在许多实际问题中，往往不能找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。,一、微分方程,凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程。（未知函数的导数必须出现。）,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.,判断下列方程是否为微分方程：,否,是,是,二、微分方程的阶,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。,一阶,三阶,三阶,三、微分方程的一般形式,1、一阶微分方程,或,2、二阶微分方程,或,四、微分方程的解,若函数满足，把它及它的导数代入微分方程时，能使方程恒成立，这样的函数称为,微分方程的解,。,1、微分方程的通解,如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为,微分方程的通解,。,、微分方程的特解,微分方程的解如果是完全确定的（即不含 任意 常数），就称为,微分方程的特解,。,五、初值条件,在通解中含有任意常数，为了得到特解必须根据一些条件来确定这些常数，这种条件称为,初值条件,。,一阶微分方程,二阶微分方程,求一阶微分方程 满足初值条,件 的特解这样一个问题，称为,一阶微,分方程的初值问题,。,六、初值问题,记为,例1验证函数,是微分方程 的通解。,例2求例1中 满足初始条件,，的特解。,例3 已知曲线上点 处的法线与x轴的,交点为Q，且线段PQ被y轴平分，求曲线方程。,定义,如果一个一阶微分方程能化成,（）,的形式，那么原方程称为,可分离变量的微分方程,。,设 和 的原函数分别为 和 。,对(1)两边积分，则得 （2）,二元方程（）就称为微分方程（）的,隐式通解,。,例3 设降落伞下落后，所受空气阻力与速度成正比（系数为k，k0）。设开始速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。,例2求微分方程 的通解。,例1 求微分方程 满足 的通解。,例4 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，这,外力和时间成正比。在 时，速度等于,，外力为 。问从运动开始经,过了 后质点的速度是多少？,一、定义,如果一阶微分方程可化成,的形 式，则称为,齐次方程,。,二、分离变量(换元法),设,问：是否为齐次方程？,则,代入齐次方程,分离变量,得,两边积分,得到u和x的函数,再将u换成 ,即得,所给齐次方程的解.,例求解方程,例求解微分方程,例3 求解微分方程,例4 探照灯的聚光镜是,一张旋转曲面，它的形状由XOY坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成。按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（X轴）上一点O处发出的,一切光线，经它反射后,都与旋转轴（X轴）平行。求曲线L的方程。,P,建立微分方程,（）,称为,一阶线性微分方程,。,所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及未知函数的导数都是一次的。,例如,是一阶线性微分方程。,其中,不是一阶线性,微分方程。,形如,当 时，称 (2)是对应于(1),的齐次线性微分方程,现在要求非齐次微分方程（1）的解，先来研究,齐次线性方程（2）的解。,当 时，称（1）是非齐次线性微分方程,分离变量,接下来采用常数变易法,设 ，,则,（3）,这就是一阶非齐次线性微分方程的通解。,代入(1)得,结论,：一阶非齐次线性方程的通解等于对应的,齐次方程的通解与非齐次方程的一个,特解之和。,把通解拆开,齐次方程通解,非齐次方程C=0时,的特解,例求解微分方程,例2 求方程 满足条件,x=2,时,y=1,的特解。,例一容器内盛盐水100L，含盐50g。现以浓度为,gL的盐水注入容器内，其流量为,Lmin。设注入之盐水与原有盐水被搅拌而迅速成为均匀的混合液，同时，此混合液又以流量为 Lmin流出。试求容器内的盐量与时间t的函数关系。,定义,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。,下面介绍三种典型的容易降阶的微分方程,相应,求解方法称为,降阶法,。,一、型,二、型,三、型,例1 求 的通解。,例2 质量为m的质点受力F作用沿OX轴作直线运动，设力F仅是时间t的函数：。在t=0时，随着时间t的增大，力F均匀地减小，直到t=T 时，。若开始时质点位于原点，且初速度为0，求这质点的运动规律。,F,0,x,t,F(t),T,设 ,则,方程可化为,通解为,得到微分方程,分离变量或者直接积分得到通解,例1 求微分方程的通解,例2 设子弹以200m/s的速度射入厚为0.1m的木,板，受到的阻力大小与子弹的速度平方成正,比，如果子弹穿出木板时的速度为80m/s，,求子弹穿过木板所需的时间。,设子弹质量为m；,子弹刚射入木板时为原点,且t=0，取运动方向为正方向,0.1m,0,x,设 ，则,原方程化为,通解为,又得微分方程,分离变量，得通解,例 求方程 满足 的特解。,形如 （1）,称为,二阶常系数齐次线性微分方程,。P、q为常数。,定理,设 及 是方程（1）的两,个解，则对于任意常数 、，,仍然是（）的解。,当 时，,，是两个不相等的实根。,(ii)当 时，,(iii)当 时，,是一对共轭复根。,称为对应于(1)的特征方程,(i)特征方程有两个不相等的实根：,(ii)特征方程有两个相等的实根：,(iii)特征方程有一对共轭复根：,解下列微分方程:,1、,2、,3、,4、,5、,6、,7、,例8 设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体。当物体处于静止状态时，作用在,物体上的重力与弹簧作用于物体的弹性力大小相等、方向相反。（这个位置就是物体的平衡位置）。现有一外力使物体离开平衡位置，并随即撤去外力，那么物体便在平衡位置附近作上下振动，求物体的振动规律。,取X轴铅直向下，平衡位置,为原点。,设在时刻t物体所在的,位置为x，则x=x(t)为所要求的,振动规律。,1、当振幅不大时，弹簧使物体,回到平衡位置时的弹性恢复力f,和物体离开平衡位置的位移x成正比：,2、物体在运动中，受到阻尼介质的阻力作用，,使得振动逐渐停止。当物体的速度不太大时，,阻力与运动速度成正比。,物体自由振动的微分方程,现在给定初值条件为,特征方程为,(i)n=0,称为理想的,无阻尼,情形。,这种振动称为简谐振动。,(ii),0nk,，称为,大阻尼,情形。,