吉林大学《线性代数》线性代数12课xm

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 第一节,矩阵初等变换,解方程组,方程组是三种变换,交换次序,数乘,一个方程加上另一个方程,k,倍,（以上三种变换都是可逆的）,初等,行,变换,对调两,行,非零的数乘某一,行,某一,行,k,倍加在另一,行,上,类似的可以定义“初等,列,变换”,统称为“初等变换”,逆变换,初等行（列）变换的逆变换,还是初等行（列）变换,矩阵等价,A,经过有限次,行,变换变成,B,，就称,A,、,B,行,等价,A,经过有限次,列,变换变成,B,，就称,A,、,B,列,等价,A,经过有限次初等变换变成,B,，就称,A,、,B,等价,等价关系的性质,反身性,对称性,传递性,初等,行,变换 解方程组,行阶梯,（只做行变换）,行最简,（行变换下最简单形式）,标准型,（行列变换皆可）,化简之后的矩阵,定理一,A,、,B,都是,m,行,n,列矩阵，则,（,i,）,A,、,B,行,等价,的充分必要条件是：存在,m,阶可逆矩阵,P,（,ii,）,A,、,B,列,等价,的充分必要条件是：存在,n,阶可逆矩阵,Q,（,iii,）,A,、,B,等价,的充分必要条件：存在,m,可逆矩阵,P,以及,n,阶可逆矩阵,Q,初等矩阵之一,对换,i,，,j,行,初等矩阵之二,将第,i,行或列乘以,k,倍,初等矩阵之三,一行（列）的,k,倍,加在另一行（列）,初等变换矩阵 性质,1,A,是,m,行,n,列矩阵,对,A,实施一次初等,行,变换，等于,A,左边,乘以一个,m,阶初等矩阵。,对,A,实施一次初等,列,变换，等于,A,右边,乘以一个,n,阶初等矩阵。,初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,初等变换矩阵 性质,2,方阵,A,可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵,使得：,证明：假设,A,的标准型是,F,r,行等价 矩阵乘法,合并全部的行操作,如何记录,A,到,B,的变换过程？,做相同的行变换,定理,1,的证明,A,、,B,行等价,A,可以做有限次初等行变换变成,B,存在初等矩阵,推论,方阵,A,可逆的充分必要条件是,证明：,A,可逆,r,r,对,A,和,E,同时做相同的变换,当,A,做行变换变成,B,时，,E,会变成,P,P,是可逆矩阵，满足,PA=B,求矩阵逆的方法,将,A,和,E,做相同的行变换。,当,A,变成,E,时，,E,将变成,P,。,P,就是,A,的逆矩阵。,行变换,行最简,变换矩阵,行变换,进一步的应用,将,A,、,B,两个矩阵同时做相同的行变换,这样，避免先计算,A,的逆矩阵，,节省了计算量。,*,如果求这种矩阵方程的逆，就是解线性方程组。,这种行变换的方法就是熟知的消元法！,进一步特例,