条件概率和乘法公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4 条件概率,例：有一批产品100件，其中95件合格品，5件不合格品，在不合格品中，有2件次品，3件废品。,求,：,（1,）所选出的一件产品是废品的概率。,（2）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品是废品的概率。,解,：（1,）3/100.,（2）3/5.,设，为同一个随机试验中的两个随机事件,且（A），则,为在事件A发生的条件下，事件B发生的,条件概率,一,.,条件概率的定义,条件概率,Conditional Probability,相应地，p(B)称为,无条件概率,显然，若事件A、B是古典概型样本空间 中的两个事件，其中,含有N个样本点，,A含有M,1,个样本点,B,含有,M,2,个样本点，,AB,含有M个样本点，则,go,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率,P(A|B),的样本空间,二.条件概率的性质,性质,设A是一事件,且P(A)0,则,1.,对任一事件B,2.,3.,设,互不相容,则,此外,前面所证概率的性质都试用于条件概率.,条件概率的计算方法：,(1),用定义计算;,(2),根据加入条件后改变了的情况来计算.,三.乘法公式,推广,乘法公式：,解,四、全概率公式,因为 +,，且与,互不相容，所以,一个袋子中有7只白球、3只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到黑球的概率,例,A=“第一次取到黑球”B=“第二次取到黑球”,四、全概率公式,全概率公式,A,1,A2,A,n,B,证明：,设A,1,，A,2,，.，A,n,是一组完备事件组，且 (A,i,)0，i1，2，.，n，则对任一随机事件B，有,全概率公式,：,全概率公式,五.贝叶斯公式 Bayes Theorem,后验概率,先验概率,(i=1,2,n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,设B,1,，B,2,，,B,n,是一组互不相容的事件组，且诸,P(B,i,)0,事件 ，P(A)0,则有,例4 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4%，求：,（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；,（2）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率。,例,有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A,1,=“从甲袋放入乙袋的是白球”；,A,2,=“从甲袋放入乙袋的是红球”；,B=“从乙袋中任取一球是红球”,；,甲,乙,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,A,1,=“从甲袋放入乙袋的是白球”；,A,2,=“从甲袋放入乙袋的是红球”；,B=“从乙袋中任取一球是红球”,；,