第二章 线性代数矩阵4

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 矩阵,2.5,分块矩阵,分块矩阵的概念和一些分块的方式,分块矩阵的运算,线性运算，乘法，转置和逆运算,引例,一个,5,阶矩阵的分块,一般地，对于,m,n,矩阵,A,如果在行的方向分成,s,块，在列的方向分成,t,块，就得到,A,的一个,s,t,分块矩阵,，记作,A,=(,A,kl,),s,t,其中,A,kl,(,k,=1,s,;,l,=1,t,),称为,A,的,子块,。,分块矩阵的概念,A1,A2,其它分块方式,E3,（准）对角块矩阵,其中,A,ii,(,i,=1,2,m,),是,r,i,阶方阵,;,A,ij,=0(,i,j,),。,按行分块,按列分块,一些分块方式,分块矩阵的运算,.,分块矩阵的数量乘法,设分块矩阵,A,=(,A,kl,),s,t,，,是一个数，则,A,=(,A,kl,),s,t,分块矩阵的加法,设分块矩阵,A,=(,A,kl,),s,t,，,如果,A,与,B,的对应子块,A,kl,和,B,kl,B,=(,B,kl,),s,t,都是同型矩阵,，则,A,+,B,=(,A,kl,+,B,kl,),s,t,其中,C,kl,=A,k,1,B,1,l,+A,k,2,B,2,l,+,+,A,ks,B,sl,(,k,=1,2,r,;,l,=1,t,).,3.,分块矩阵的乘法,设,A,=(,a,ij,),m,n,，,B,=(,b,ij,),n,p,，,如果把,A,B,分别分块为,r,s,和,s,t,分块矩阵，,且,A,的列,的分块法与,B,的行,的分块法相同，则,例,1,已知,A,，,用分块乘法,求,A,2,。,解,改变分块方式。,P98/58(1),P98/58(1),分块的基本原则是什么？,有什么规律？,又例,提示,例,2,若,n,阶矩阵,C,和,D,分块成同型对角块矩阵，即,C,=diag(,C,1,C,2,C,s,),D,=diag(,D,1,D,2,D,s,),其中,C,i,和,D,i,是同阶方阵,(,i,=1,2,s,),。,则,CD,=diag(,C,1,D,1,C,2,D,2,C,s,D,s,),证 对,n,作数学归纳法,：,n,=1,时,，,(,a,),1,=1/,a,结论成立。假设命题对,n,1,阶可逆的上三角矩阵成立。对,n,阶矩阵,A,设,B,为,A,的,逆矩阵,并把,A,B,分块为同样的,2,2,分块矩阵,即,其中,A,1,是,n,1,阶,可逆（？）,的上三角矩阵,，,B,1,是,n,1,阶矩阵,。,例,3,证明：,n,阶可逆上三角,矩阵,A,的逆矩阵也是上三角矩阵,。,=,A,1,1,0,=,0,A,1,=,B,是上三角矩阵。,根据归纳假设,，,B,1,是上三角矩阵,，,所以,所以，,B,1,=,A,1,1,分块矩阵,A,=(,A,kl,),s,t,的转置,A,T,为,t,s,分块矩阵,，,记,A,T,=(,B,l,k,),t,s,，,则,B,l,k,=,A,kl,T,，,4.,分块矩阵的转置,l,=1,2,t;,k,=1,2,s,可逆分块矩阵的逆矩阵,A,可逆的充要条件是每一子块,A,i,都可逆,(i,=1,2,m,).,其中,B,D,分别为,k,阶和,m,阶可逆矩阵。,证明,:,A,可逆,并求,A,1,。,解,其中,X,T,分别为,k,阶和,m,阶矩阵。于是由,T=D,1,；,X=B,1,;,Y,=0,；,所以,，,Z=,D,1,CB,1,。,P19,页例,9,习题,2 P33,页,17.,18.,作业分析,P20,页公式,1.22,P6,页例,2,20.,P94,注意所得为行矩阵,不能省,利用转置运算的运算律更方便。,P96/41(1),注意伴随阵的元素排列,逆矩阵的位置,练习,P100,页,/68,69,70,