7.1微分方程基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、引言,对自然界的深刻研究,傅里叶,微积分,研究的对象是函数关系,但在,实际问题中,往往很难直接得到,所研究的变量之间,的函数关系,却,比较容易建立起,这些变量与它们的导数或微分之间,的,联系,从而得到一个,方程,即,微分方程,.,通过求解,这种方程,同样可以找到,指定未知量,之间的函数关系,.,因此,微分方程是数学联,系实际,并应用于实际的重要,途径和桥梁,是各个学科,关于未知函数的导数或微分的,是数学最富饶的源泉,.,一、引言,下面的例子说明，,实际问题中较容易建立起来的,是各个学科,进行科学研究的强有力,的工具,.,例：,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,且线段,PQ,被,y,轴平分,求此曲线所满足的方程。,方程往往是它们的导数、自变量或函数之间关系,的方程。,求此曲线所满足的方程,.,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,设所求的曲线为,y,(,x,),如图所示,曲线上的,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,一、引言,系实际,并应用于实际的重要,途径和桥梁,是各个学科,进行科学研究的强有力,的工具,.,如果,说,“,数学是一门理性思维的科学,是研究、,了,解和知晓现实,世界的工具,”,那么微分方程就是显示,数学的这种威力和,价值的一种体现,.,现实世界中的许,多实际问题,都可以抽象为,微分方程问题,.,例如,物体,的冷却、,琴弦的振动、,电磁波的,传播等,都可以归结为,微分方程问题,.,这时微分方程也称为,所研究问题的,数,学模型,.,人口的增长、,一、引言,都可以归结为,微分方程问题,.,这时微分方程也称为,所研究问题的,数,学模型,.,一、引言,微分方程是,一门独立的数学学科,有完整,的理论,体系,.,本章我们主要介绍微分方程的一些,基本概念,种常用的微分方程的,求解方法,线性微分方程解的理,论,.,几,都可以归结为,微分方程问题,.,这时微分方程也称为,所研究问题的,数,学模型,.,微分方程,:,凡含有未知函数的导数或微分的方程，,叫做微分方程,.,例,实质,:,联系自变量,未知函数以及未知函数的,某些导数,(,或微分,),之间的关系式,.,二、基本概念,微分方程的阶,:,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数,.,常微分方程,偏微分方程,.,一阶微分方程,高阶微分方程,微分方程的概念,常微分方程的一般形式是,:,其中,为,自变量,是未知函数,在方程,中,必须出现,而其余变量,可以不出现,微分方程,中,其余变量,都没有出现,.,能从方程,中,就得到微分方程,例如在,阶,如果,解出最,高阶导数,以后我们讨论的微分方程,主要是形如,的,微分方,微分方程的概念,以后我们讨论的微分方程,主要是形如,的,微分方,微分方程的概念,以后我们讨论的微分方程,主要是形如,的,微分方,程,并且假设,式右端的函数,在所讨论的范围内,连续,.,如果方程,可表示为如下形式,:,其中,和,知,函数,.,不能表示成形如,的,方程,统称为,非,线性,微分方程,.,均为自变量,的已,则称方程,为,阶线性,微分方程,.,n,例,1,设一物体的温度为,温度为,的环境中冷却,.,根据冷却定律,:,温度的变化率,设物体的温度,与时间,的函数关系为,则可建立起函数,满足的微分方程,将其放置在空气,物体,与物体和当时空气温度之差成正比,其中,为比例常数,.,这就是,物体冷却的,数,根据题意,还需满足条件,学模型,.,例,2,设一质量为,的物体只受重力的作用,始,自由垂直降落,.,根据牛顿第二定律,:,等于物体的质量,与物体运动的加速度,的乘积,即,若取物体降落的铅垂线为,轴,由静止开,物体所受的力,朝下,物体下落的起点为原点,间是,则可建立起函数,满足的微分方程,并设开始下落的时,的函数关系为,物体下落的距离,与时间,其中,为重力加速度常数,.,这就是,学模型,.,根据题意,自由落体运动的数,还需满足条件,其正向,例,3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分,方程,的阶数,.,解,(1),是一阶线性微分方程,因方程中含有的,和,都是一次,.,(2),是一阶非线性微分方程,因方程中含有的,的平方项,.,例,3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分,方程,的阶数,.,解,例,3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分,方程,的阶数,.,解,(3),是二阶非线性微分方程,因方程中含有的,的三次方,.,(4),是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性,函数,和,微分方程的解,:,代入微分方程能使方程成为恒等式,的函数,.,微分方程的解的分类：,(1),通解,:,微分方程的解中含有任意常数,且任,意常数的个数与微分方程的阶数相同,.,满足,(2),特解,:,确定了通解中任意常数以后的解,.,解的图像,:,微分方程的积分曲线,.,通解的图像,:,积分曲线族,.,微分方程的解的图形是一条,曲线,称为微分方程,的,积分曲线,.,微分方程解的概念,例如,在例,1,和例,2,中，可以验证函数,和,都是微分方程,的,解,其中,为任意,常数,;,而函数,和,都是微分方程,的,解,其中,为任意,常数,.,上述,和,分别为,其微分方程的特解,而,和,分别为,其微分方程的通解,.,微分方程解的概念,一般地,微分方程的不含有任意常数的解,称为微,分方程的,特解,.,含有相互,独立的任意常数,且任意常,数的个数,与微分方程的阶数相等的解,称为微分方程,的,通解,(,一般解,),.,所谓通解的,意思是指,:,当其中的任意,常数取遍所有实数时,就可以得到,微分方程的所有解,(,至多有个别例外,).,注,:,这里所说的相互独立的任意常数,是指它们,不能通过合并,而使得,通解中的任意常数的个数减少,.,微分方程解的概念,许多实际问题,都要求寻找满足某些,附加条件的解,此时,这类附加条,件就可以用来,确定通解中的,任意,常数,这类附加条件,称为,初始条件,也称为,定解条件,.,一般地,一阶微分方程,的初始条,件为,其中,都是,已知常数,.,二阶微分方程,的初始条件为,过定点的积分曲线,;,一阶,:,二阶,:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,.,初值问题,:,求微分方程满足初始条件的特解的问题,.,带有初始条件的微分方程,称为微分方程的,初值,问题,.,微分方程解的概念,初值问题,的,几何意义是,:,求微分方程,的通过点,的那条,积分曲线,.,二阶微分方程的,初值问题,其几何意义是,:,求微分方程的通过点,且在该,点处的切线斜率为,的那条,积分曲线,.,例,4,求曲线族,满足的微分方程,其中,为任意常数,.,解,求曲线族所满足的方程,就是求一微分方程,所给的曲线族,正好是该微分方程的积分曲线族,.,此所求的微分方程的阶数应与,常数的个数相等,.,这里,法,来得到所求的微分方程,.,已知曲线族中的任意,我们通过消去任意常数的方,对,求导,得,再从,解出,代入上式得,使,因,在等式,两端,化简即得到所求的微分方程,例,5,验证函数,是方程,的通解,满足初始条件,的特解,.,并求,解,要验证一个函数是否是方程的通解,函数代入方程,看是否恒等,独立的任意常数,的个数是否与方程的阶数相同,.,只要将,再看函数式中所含的,将,求一阶导数,得,把,和,代入方程左边得,例,5,验证函数,是方程,的通解,满足初始条件,的特解,.,并求,解,把,和,代入方程左边得,例,5,验证函数,是方程,的通解,满足初始条件,的特解,.,并求,解,把,和,代入方程左边得,因方程两边恒等,且,中含有一个任意常数,故,是题设方程的通解,.,例,5,验证函数,是方程,的通解,满足初始条件,的特解,.,并求,解,因方程两边恒等,且,中含有一个任意常数,故,是题设方程的通解,.,例,5,验证函数,是方程,的通解,满足初始条件,的特解,.,并求,解,因方程两边恒等,且,中含有一个任意常数,故,是题设方程的通解,.,将初始条件,代入通解,中,得,从而所求特解为,课堂练习,