劳斯霍尔维茨稳定性判据

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 劳斯-霍尔维茨稳定性判据,稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。,常用的稳定性分析方法有：,1.劳斯赫尔维茨（RouthHurwitz）判据：这是一种代数判据。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.,2.根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。,3.奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。,4.李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。,一、稳定性的概念,稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。,(a)稳定的 (b)不稳定的,图3-31 圆锥体的稳定性,因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称,系统是稳定的,。,设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下，这时系统的脉冲响应为,c,(,t,)。若,t,时，,脉冲响应,这时，线性系统是稳定的。,设系统的特征方程,D,(,s,)=0的根为,s,i,，由于单位脉冲传递函数的拉氏变换为1，系统输出的拉式变换为,：,瞬态响应项表现为衰减、临界和发散三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。,由于输入量只影响到稳态响应，并且两者具有相同的特性，即如果输入量,r,(,t,),是有界的：,|,r,(,t,)|，,t,0,则稳态响应也必定是有界的。则系统稳定性可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。,一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。,线性系统的稳定性可以根据闭环极点在,S,平面内的位置来确定。设单输入单输出线性系统的微分方程为，即,(3.58),则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式,(3.59),来分析。这时，在任何初始条件下，若满足,(3.60),则称系统(3.58)是稳定的。,为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学分析知道，式(3.59)的特征方程式为,(3.61),设上式有,k,个实根,-p,i,（,i,=1，2，,k,），,r,对共轭复数根(,-,j,jw,j,)(,j,=1，2，,r,)，,k,+2,r,=,n,，则齐次方程式(3.59)解的一般式为,(3.62),式中系数,A,j,，B,j,和,C,j,由初始条件决定。,从式(3.62)可知：,(1)若,-,p,i,0，,-s,j,0，则,系,系统稳定,的,的必要条,件,件是系统,特,特征方程,的,的所有系,数,数均为正,数,数。,证明如下,：,：,设,设式(3.63)有,n,个根，其,中,中,k,个实根,-p,j,(j=1,，2，,，,，,k,)，r对,复,复根,-,s,i,jw,i,(,i,=1，2,，,，,r,)，,n,=,k+,2,r,。则特征,方,方程式可,写,写为,假如所有,的,的根均在,左,左半平面,，,，即,-,p,j,0，,-,s,i,0,，,s,i,0,。所以将,各,各因子项,相,相乘展开,后,后，式（3.63,）,）的所有,系,系数都是,正,正数。,根据这一,原,原则，在,判,判别系统,的,的稳定性,时,时，首先,检,检查系统,特,特征方程,的,的系数是,否,否都为正,数,数，假如,有,有任一系,数,数为负数,或,或等于零,（,（缺项）,，,，则系统,就,就是不稳,定,定的。但,是,是，假若,特,特征方程,的,的所有系,数,数均为正,数,数，并不,能,能肯定系,统,统是稳定,的,的，还要,做,做进一步,的,的判别。,因,因为上述,所,所说的原,则,则只是系,统,统稳定性,的,的必要条,件,件，而不,是,是充分必,要,要条件。,(二),劳,劳斯判据,这,是,是1877年由劳,斯,斯(,Routh,)提出的,代,代数判据,。,。,1.若系,统,统特征方,程,程式,设,a,n,0，,各,各项系数,均,均为正数,。,。,2.按特,征,征,方程的系,数,数列写劳,斯,斯阵列表,：,：,表中,直至其余,b,i,项均为零,。,。,按此规律,一,一直计算,到,到,n,-1,行为止。,在,在计算过,程,程中，为,了,了简化数,值,值运算，,可将某一,行,行中的各,系,系数均乘,一,一个正数,，不会影,响,响稳定性,结,结论。,3.考察,阵,阵列表第,一,一列元素,的,的符号。,假若劳斯,阵,阵列表中,第,第一列所,有,有元素均,为,为正数，,则,则该系统,是,是稳定的,，,，,即特征方,程,程所有的,根,根均位于S平面的,左,左半平面,。,。假若第,一,一列元数,有,有负数，,则,则,第一列元,素,素的符号,的,的变化次,数,数等于系,统,统在S平,面,面右半平,面,面上的根,的,的个数,。,例3.3,系,系统,特,特征方程,为,为,试用劳斯,判,判据判别,系,系统的稳,定,定性。,解 从,系,系统特征,方,方程看出,，,，它的所,有,有系数均,为,为正实数,，,，满足系,统,统稳定的,必,必要条件,。,。列写劳,斯,斯阵列表,如,如下,1126,6110,61/66,455/610,6,第一列系,数,数均为正,实,实数，故,系,系统稳定,。,。事实上,，,，从因式,分,分解可将,特,特征方程,写,写为,其根为,-,2，,-,3，,，均具有,负,负实部，,所,所以系统,稳,稳定。,(,s,+2)(,s,+3)(,s,2,+,s,+1)=0,例3.3,系,系统,特,特征方程,为,为,试,试用,劳,劳斯判据,判,判别系统,的,的稳定性,。,。,解,解,从,从系,统,统特征方,程,程看出，,它,它的所有,系,系数均为,正,正实数，,满,满足系统,稳,稳定的必,要,要条件。,列,列写劳斯,阵,阵列表如,下,下,s,4,135,s,3,240,s,2,15,s,1,-60,s,0,5,第一列系,数,数有两次,变,变号（+1到-6,，,，-6到+5），,故,故系统不,稳,稳定，且,有,有两个正,实,实部的根,。,。,例3.4,已知系统,特,特征方程,式,式为,解 列,写,写劳斯阵,列,列表,s,5,125,S,4,316,s,3,59,（,（,各,各系数均,已,已乘3）,S,2,-1115,（,（各系,数,数均已乘5/2）,S,1,174,（,（各系,数,数均已乘11）,s,0,15,劳斯阵列,表,表第一列,有,有负数，,所,所以系统,是,是不稳定,的,的。由于,第,第一列元,素,素的符号,改,改变了两,次,次(5,11174),，,，所以，,系,系统有两,个,个具有正,实,实部的根,。,。,4.两,种,种特殊情,况,况,在,劳,劳斯阵列,表,表的计算,过,过程中，,如,如果出现,：,：,(1),劳斯表中,某,某行的第,一,一列的元,素,素为零，,其,其余各列,系,系数不为,零,零（或没,有,有其余项,）,），或不,全,全为零,，,这时可用,一,一个很小,的,的正数,e,来代替这,个,个零，从,而,而使劳斯,阵,阵列表可,以,以继续运,算,算下去（,否,否则下一,行,行将出现,）。,第一列零,元,元素的存,在,在（其他,元,元素为正,）,）,，则说明,系,系统特征,方,方程有一,对,对虚根，,系,系统处干,临,临界状态,；,；,如果第一,列,列元素存,在,在符号变,化,化，则系,统,统不稳定,，,，不稳定,根,根的个数,由,由符号变,化,化次数决,定,定。,例3.5,设,设系,统,统特征方,程,程为,s,3,+,2,s,2,+,s,+,2,=0,解,劳斯阵列,表,表为,由于,e,的上下两,个,个系数(2和2),符,符号相同,，,，则说明,有,有一对虚,根,根存在。,上,上述特征,方,方程可因,式,式分解为,例3.5,设,设系,统,统特征方,程,程为,解,劳斯阵列,表,表为,s,3,13,s,2,2,s,1,（3,-2）/0，30-,K,0,所以0,K,25时,，,，系统稳定,。,。,T,-5 0，,，,9,、静,夜,夜四,无,无邻,，,，荒,居,居旧,业,业贫,。,。1月-231月-23,Friday,January6,2023,10,、雨中黄,叶,叶树，灯,下,下白头人,。,。21:13:2021:13:2021:13,1/6/20239:13:20PM,11,、以,我,我独,沈,沈久,，,，愧,君,君相,见,见频,。,。1月-2321:13:2021:13,Jan-2306-Jan-23,12,、故人江,海,海别，几,度,度隔山川,。,。21:13:2021:13:2021:13,Friday,January6,2023,13,、乍,见,见翻,疑,疑梦,，,，相,悲,悲各,问,问年,。,。1月-231月-2321:13:2021:13:20,January6,2023,14,、他乡生白,发,发，旧国见,青,青山。06 一月20239:13:21 下午21:13:211月-23,15,、比不,了,了得就,不,不比，,得,得不到,的,的就不,要,要。一月239:13 下,午,午1月-2321:13,January 6,2023,16,、行,动,动出,成,成果,，,，工,作,作出,财,财富,。,。2023/1/621:13:2121:13:21,06January2023,17,、做前，,能,能够环视,四,四周；做,时,时，你只,能,能或者最,好,好沿着以,脚,脚为起点,的,的射线向,前,前。9:13:21,下,下午9:13,下,下午21:13:211月-23,9,、没有失,败,败，只有,暂,暂时停止,成,成功！。1月-231月-23,Friday,January6,2023,10,、很多,事,事情努,力,力了未,必,必有结,果,果，但,是,是不努,力,力却什,么,么改变,也,也没有,。,。21:13:2121:13:2121:13,1/6/20239:13:22 PM,11,、成功就,是,是日复一,日,日那一点,点,点小小努,力,力的积累,。,。1月-2321:13:2221:13,Jan-2306-Jan-23,12,、世间,成,成事，,不,不求其,绝,绝对圆,满,满，留,一,一份不,足,足，可,得,得无限,完,完美。,。,。21:13:2221:13:2221:13,Friday,January6,2023,13,、不知香积,寺,寺，数里入,云,云峰。1月-231月-2321:13:2221:13:22,January 6,2023,14,、意志坚强,的,的人能把世,界,界放在手中,像,像泥块一样,任,任意揉捏。06 一月20239:13:22 下午21:13:221月-23,15,、楚塞三,湘,湘接，荆,门,门九派通,。,。一月