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连续型随机变量的概念,三种重要的连续型随机变量,小结,2.4,连续型随机变量及其概率密度,设统计量,X,属于某一区间内的值，取均匀分布的,n,个值,:,x,1,=,a,x,2,x,3,x,4,x,n,=,b,以这,n,个值为中点，划分出,n,个等长的小区间,.,X,即小矩形的面积为,取对应小区间内点的概率,x,1,=,a,P,x,2,x,3,s,1,s,2,s,3,s,n,.,x,n,=b,a,、,b,之间折线下面积之和！,连续型随机变量的概念,画,X,的概率,直方图：,(1),定义的引出（样本频率直方图）,若,X,为连续型,随机变量，由于,X,在,a,b,内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,X,a,P,.,b,由此推出连续,型随机变量,的定义,设,X,是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数,f,(,x,),，满足条件,1.,2.,对于任意的,3.,则称,X,是,连续型随机变量,，,称为,X,的,概率密度函数,简称概率密度,.,(2),连续型随机变量的定义,概率密度函数的性质,1),2),1,这两条性质是判定一,个函数,f(x),是否为某,个随机变量,X,的概率,密度函数的充要条件,.,3)X,落入区间,a,b,内的概率,=,连续型随机变量等价定义,定义,注意,对于任意可能值,a,连续型随机变量取,a,的概率等于零,.,即,连续型随机变量取值落在某一,区间的概率与区间的开闭无关,由此可得,这是因为,关于,连续随机变量,X,的分布函数和概率密度函数的性质：,故,X,的密度,f(x),在,x,这一点的值，恰好是,X,落在区间,上的概率与区间长度,之比的极限,.,这里，如果把概率理解为质量，,f(x),相当于线密度,.,若,x,是,f(x),的连续点，则：,=,f(x),(,),对,f(x),的进一步理解,密度函数,f(x),在某点处,a,的高度，并不反映,X,取值的概率,.,但是，这个高度越大，则,X,取,a,附近的值的概率就越大,.,也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,.,1,问题：,f,(,a,),是,=,a,的概率吗？,事实上，若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量,X,取值于,的概率近似等于,.,在连续型,r.v,理论中所起的作用与,在离散型,r.v,理论中所起的,作用相类似,.,P,X,=,a,=0,而,X=a,并非不可能事件,.,可见，,由,P,(,A,)=0,不能推出,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=,问题：,概率为零的事件一定是不可能事件吗？,类似可知，,例1,设连续型随机变量,X,具有概率密度,均匀分布,满足连续型随机变量的两个最基本性质,均匀分布的意义,事实上,，,若,X,U,(,a,b,),，则对于满足,的,c,d,总有,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五,入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五,入时，那么一般认为误差服从（,-0.5,0.5,）上的均匀分布。,如公交系统中乘客随机乘车的等车时间,指数分布,满足连续型随机变量的两个最基本性质,指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示,指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间,.,有些系统的寿命分布也可用指数分布来,近似,当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布,.,在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等,.,例3,解：,各元件的寿命是否超过,1000,小时是独立的，因此,3,个元件使用,1000,小时都未损坏的概率为 ，从而至少有一个已损坏的概率为,正态分布,满足连续型随机变量的两个最基本性质,正态概率密度函数的几何特征,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如,测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量,高度等都近似服从正态分布,.,正态分布的应用与背景,课堂思考,某公共汽车站从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,7:45,等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是,7:00,到,7:30,之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于,5,分钟的概率,.,解：,依题意，,X,U,(0,30),以,7:00,为,起点,0,，以分为单位,为使候车时间,X,少于,5,分钟，乘客必须在,7:10,到,7:15,之间，或在,7:25,到,7:30,之间到达车站,.,所求概率为：,从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,等时刻有汽车到达汽车站,，,即乘客候车时间少于,5,分钟的概率是,1/3.,
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