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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,*,第三章,随机变量的数字特征,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,第一节,数学期望,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,甲班,考试成绩：,90分 10人,80分 20人,70分 10人,乙班,考试成绩：,90分 10人,80分 10人,70分 20人,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,甲班,平均成绩为,80分（只看分数）,80分（加上人数来计算,),乙班平均成绩为,80分（只看分数）,77.5分（加上人数来计算,),清华大学现代远程教育 * 专升本课程,一 数学期望的概念,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,设,离散型,随机变量,X,的概率分布为,若级数 绝对收敛，则称该级数为随机变量,X,的,数学期望,，简称,期望,，又称,均值,，记作,E,（,X,）,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,X,.,.,P,.,.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,设,连续型,随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,),若积分,绝对收敛，则称该积分的值为随机变量,X,的,数学期望,，记作,E,(,X,).,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,二 数学期望的性质,1.,E,（c）c ， c,为常数.,2.,E,（,X,c）,E,（,X,）c，,X,为随机变量.,3.,E,（,c,X,）,c,E,（,X,）.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,4,E,（,c,X,b）=,c,E,（,X,）b.,5.,E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),X,和,Y,为两个随机变量 (此性质可以推广到有限个随机变量).,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,6,若,X,与,Y,为相互独立的随机变量，则有,E,（,X,Y,）,E,（,X,）,E,（,Y,）,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,三 随机变量函数的数学期望,若,X,是,离散型,随机变量， ，,则,随机变量函数,f,(X),的数学期望,为,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,若,X,是,连续型,随机变量，概率密度为,p,(,x,),则,随机变量函数,f,(X),的数学期望,为,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,第二节,方差,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,一 方差的概念,若随机变量,X,的数学期望,E,(,X,),存在，则称,X,E,（,X,）,为,随机变量,X,的离差,.,显然,E,X,E,（,X,）0,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,设随机变量,X,的数学期望,E,（,X,）,存在，且 也存在，则称 为随机变量,X,的,方差,，记作,D,（,X,），,VarX,， ,即,D,(,X,) .,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,D,（,X,） ，,则称 为随机变量,X,的,标准差,（或,方差根,，,均方差,），还可记作 .,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,二,方差的性质,1,D,（c）0，c,为常数.,2,D,（,X,c）,D,（,X,），,X,为随机变量.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,3.,D,（,c,X,+b）c,2,D,（,X,）,cb,为常数.,4.,若随机变量,X,和,Y,相互独立，则有,D,（,X,Y,）,D,（,X,）,D,（,Y,）,成立,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,5,若,X,和,Y,是任意两个随机变量，则有,D,（,X,Y,),D,（,X,）,D,（,Y,）,2,E,(,X,E,（,X,）)（,Y,E,（,Y,）,6,D,（,X,）,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,不等式 成立，即,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,第三节,条件期望,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,二元离散型,随机变量（,X,，,Y,）,的,条件数学期望,，简称,条件期望,.,记作,E,(,X,| ),或,E,（,Y,| ）.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,设,二元连续型,随机变量（,X，Y,）,的,条件数学期望,，简称,条件期望,.,记作,E,（,X,|,y,）,或,E,（,Y,|,x,）.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,条件期望的性质,：,1.,若随机变量,X,有 ，则下列不等式成立，即 .,2,.,E,E,（,X,|,Y,）=,E,(,X,).,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,第四节,协方差及相关系数,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,一,协方差,对于随机变量,X,与,Y,，,若,E,(,X,-,E,(,X,)(,Y,-,E,(,Y,),存在，则称该数值为,X,与,Y,的,协方差,，记作,cov,（,X,，,Y,）.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,cov,(,X,Y,),=,E,(,X,-,E,(,X,)(,Y,-,E,(,Y,) =,E,(,XY,)-,E,(,X,),E,(,Y,).,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,协方差的性质：,1,cov,(,X,Y,)=,cov,(,Y,X,),X,和,Y,为随机变量.,2.,cov,(,a,X,b,Y,)=,ab,cov,(,X,Y,),a,和,b,常数.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,3.,cov,(,X,1,+,X,2,Y,)=,cov,(,X,1,Y,)+,cov,(,X,2,Y,).,4.,若随机变量,X,与,Y,独立，且,cov,（,X,Y,）,存在,则,cov,（,X,，,Y,）=0.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,二 相关系数,对于随机变量,X,与,Y,，,若,D,（,X,）0,D,(,X,)0,则称,为,X,与,Y,的,相关系数,，记作,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,相关系数的性质：,1.,相关系数为无量纲的量（无单位）.,2.,.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,3,当 时，则称,X,与,Y,不相关.若随机变量,X,与,Y,独立，则 =0;反之不成立.,4.,若,，,则称,X,与,Y,相关,.,当 时 ,则称,X,与,Y,完全线性相关,.,清华大学现代远程教育 * 专升本课程,
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