圆的一般方程（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,.2,圆的一般方程,圆的标准方程,:,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,指出下面圆的圆心和半径,：,(,x,-1),2,+(,y,+2),2,=2,(,x,+2),2,+(,y,-2),2,=5,(,x,+,a,),2,+(,y,-2),2,=,a,2,(,a,0),特征,：,直接看出,圆心,与,半径,复习,x,2,y,2,D,x,E,y,F,0,把,圆的标准方程,（,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,展开，得,-,2,2,2,2,2,2,0,2,=,-,+,+,-,+,r,b,a,by,ax,y,x,由于,a,b,r,均为常数,结论：,任何一个圆方程可以写成下面形式,动动手,1.,是不是任何一个形如,x,2,y,2,D,x,E,y,F,0,方程都表示的曲线是圆呢？,思考,2.,下列方程表示什么图形？,（,1,）,x,2,+y,2,-2x+4y+1=0,；,（,2,）,x,2,+y,2,-2x-4y+5 =0,；,（,3,）,x,2,+y,2,-2x+4y+6=0.,将,左边配方，得,（,1）当,时,它表示以,为圆心,以,为半径的圆;,D,2,+E,2,-4F0,(2)当,D,2,E,2,4,F,0,时，方程表示一个点 ；,(3)当,D,2,E,2,4,F,0,时，方程无实数解,不表示任何图形,所以形如,x,2,y,2,D,x,E,y,F,0,（,D,2,+E,2,-4F0,）,可表示圆的方程,圆的一般方程：,x,2,y,2,D,x,E,y,F,0,圆的,一般方程,与,标准方程,的关系：,(,D,2,+E,2,-4F0,),（,1,）,a,=,-D/2,，,b,=,-E/2,，,r,=,没有,xy,这样的二次项,（,2,）,标准方程,易于看出,圆心,与,半径,一般方程,突出,形式上,的特点：,x,2,与,y,2,系数相同并且不等于,0,；,例,1,、,判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径,(1),x,2,+,y,2,-2,x,+4,y,-4=0,(2) 2,x,2,+2,y,2,-12,x,+4,y,=0,(3),x,2,+2,y,2,-6,x,+4,y,-1=0,(4),x,2,+,y,2,-12,x,+6,y,+50=0,(5),x,2,+,y,2,-3,xy,+5,x,+2,y,=0,是,圆心（,1,，,-2,）半径,3,是,圆心（,3,，,-1,）半径,不是,不是,不是,已知圆,x,2,+,y,2,+D,x,+E,y,+F=0,的圆心坐标为,(-2,3),半径为,4,则,D,E,F,分别等于,2.,x,2,+,y,2,-2,ax,-,y,+,a,=0,是圆的方程的充要条件是,练习,下列方程各表示什么图形,?,若是圆则,求出圆心、半径,.,a,例,2,：,巩固：,4,-6,-3,2,或,-2,(1),圆的一般方程与圆的标准方程的联系,:,一般方程,标准方程,小结一,:,举例,例,1,：,求过三点,O(0,，,0),，,M,1,(1,，,1),，,M,2,（,4,，,2,）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标,.,几何方法,方法一：,y,x,M,1,(,1,1,),M,2,(,4,2,),0,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点,因为,O(0,0),A (1,1),B(4,2),都在圆上,（,4-a,）,2,+,（,2-b,）,2,=,r,2,（,a,）,2,+,（,b,）,2,=,r,2,（,1-a,）,2,+,（,1-b,）,2,=,r,2,解：设所求圆的标准方程为,：,（,x-a,）,2,+,（,y-b,）,2,=,r,2,待定系数法,方法二：,所求圆的方程为：,即（,x-,4,）,2,+,（,y+,3,）,2,=,25,a=4,b=-3,r=5,解得,举例,例,1,：,求过三点,O(0,，,0),，,M,1,(1,，,1),，,M,2,（,4,，,2,）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标,.,举例,例,1,：,求过三点,O(0,，,0),，,M,1,(1,，,1),，,M,2,（,4,，,2,）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标,.,解：设所求圆的一般方程为,：,因为,O(0,0),A (1,1),B(4,2),都在圆上，则,F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,所求圆的方程为,:,x,2,+y,2,-,8,x+,6,y=,0,即（,x-,4,）,2,+,（,y+,3,）,2,=25,待定系数法,方法三：,F=0,D=-8,E=6,解得,小结二,(,特殊情况时,可借助图象求解更简单,),注意,:,求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式,:,若知道或,涉及圆心和半径,我们一般采用,圆的,标准,方程,较简单,.,若已知,三点,求圆的方程,我们常常采用,圆,的,一般,方程用待定系数法求解,.,例,4.,已知一曲线是与两定点,O(0,0),、,A(3,0),距离的比为,1/2,的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线,.,举例,y,x,.,O,.,.,（,-1,，,0,）,A(3,0),M(,x,y,),直译法,例5,已知线段,AB,的端点,B,的坐标是（,4,，,3,）,端点,A,在圆,(x+1),2,+y,2,=4,上运动，求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,.,y,A,B,M,x,o,练习：,已知点,P,在圆,C,：,上运动，求线段,OP,的中点,M,的,轨迹方程。,作业,P123,练习：,1,，,2,，,3.,P124,习题,4.1A,组：,3,，,4,1.,本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(,用配方法求解,),3.,给出圆的一般方程,如何求圆心和半径,?,2.,圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程,(,圆心,半径,),小结,几何方法,求圆心坐标,（,两条直线的交点,）,（常用弦的,中垂线,）,求半径,（,圆心到圆上一点的距离,）,写出圆的标准方程,待定系数法,列关于,a,，,b,，,r,（或,D,，,E,，,F,）的方程组,解出,a,，,b,，,r,（或,D,，,E,，,F,），写出标准方程（或一般方程）,小结,求圆的方程,