概率论与数理统计张天德版第2章课件例题

,第二章 随机变量及其分布,5,随机变量函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数,更感兴趣,.,求截面面积,A,=,的分布,.,例如，已知圆轴截面直径,d,的分布，,已知,t=t,0,时刻噪声电压,V,的分布，,求功率,W=V,2,/R,(,R,为电阻）的分布等,.,设随机变量,X,的分布已知，,Y=g (X),(,设,g,是连续函数），如何由,X,的分布求出,Y,的分布？,Y,的可能值为,即,0,1,4,.,解,例,1,一 离散型随机变量函数的分布,故,Y,的分布律为,如果,g(x,k,),中有一些是相同的，把它们作适当并项即可,.,一般，若,X,是离散型,r.v,，,X,的概率函数为,X,则,Y=g(X),设,r.v.,X,的分布律为,Y=g(X),的概率分布为,例,2,已知,X,的概率分布为,其中,p + q =,1, 0 ,p, 1,求,Y =,Sin,X,的概率分布,解,故,Y,的概率分布为,Y,p,i,-1 0 1,二、连续型随机变量函数的分布,解：,第一步,先求,Y,=2,X,+8,的分布函数。,设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，,例,3,设,X,求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,F,Y,(,y,),=P,Y y, =,P,(2,X,+8,y,),=,P,X, =,F,X,( ),第二步,由分布函数求概率密度，,于是,Y,的密度函数,故,注意到,0 ,x, 4,时，,即,8 ,y,0,时，,当,a ,0,时，,注意到,Y=X,2,0,，故当,y,0,时，,故,从上述例子中可以看到，在求,P,(,Y,y,),的过程中，关键的一步是设法,从,g,(,X,) ,y,中解出,X,从而得到与,g,(,X,) ,y,等价的,X,的不等式,.,例如，用 代替,2,X,+8 ,y,X,用 代替,X,2,y,这样做是为了利用已知的,X,的分布，从而求出相应的概率,.,这是求,r.v,的函数的分布的一种常用方法,.,特殊方法,当,y,=g(,x,),是单调函数,定理,若随机变量,X,具有概率密度,f,X,(,x,),，其在,(,a, b),上取非零值，又,y,=,g,(,x,),是严格单调的可导函数，则,Y,=,g,(,X,),是连续型随机变量，其概率密度为,其中,x,=,h,(,y,),是,y,=,g,(,x,),的反函数，,(,，,),是,y,=,g,(,x,),a,x,b,的值域。,上逐段严格单调，其,反函数分别为,随机变量，其概率密度为,若,g,(,x,),在不相叠的区间,均为连续可导函数，那么,Y = g,(,X,),是连续型,推广定理,例,6,设随机变量,X,在,(0,1),上服从均匀分布，求,Y,=-2ln,X,的概率密度.,解：,在区间,(0,1),上,函数,ln,x,0,于是,y,在区间,(0,1),上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取,绝对值,已知,X,在,(0,1),上服从均匀分布，,代入,的表达式中,得,即,Y,服从参数为,1/2,的指数分布,.,解,例,7,例,8,设,X,的,概率密度,为,求,的,概率密度,解,故当,y,0,或,y,1,时,y,f,Y,(,y,) = 0,x,1,0,y,由图可知,Y,的取,值范围为,(0,1),y,arcsin,y, -,arcsin,y,1,x,0,当,0,y ,1,时,故,作业,34,，,35,