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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,格林公式,高斯公式与斯托克斯公式,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,弧段为,AB,其线密度为,“,大化小,常代变,近似和,求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.,引例,:,曲线形构件的质量,采用,设,是空间中一条有限长的光滑曲线,义在,上的一个有界函数,都存在,上,对弧长的曲线积分,记作,若通过对,的,任意分割,局部的,任意取点,2,.,定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分,.,称为,被积函数，,称为,积分弧段,.,曲线形构件的质量,和对,如果,L,是,xoy,面上的曲线弧,如果,L,是闭曲线,则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考,:,(1),若在,L,上,f,(,x,y,),1,(2),定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例,?,否,!,对弧长的曲线积分要求,d,s, 0 ,但定积分中,d,x,可能为负,.,3.,性质,（,k,为常数,),(,由 组成,),(,l,为曲线弧,的长度,),(5),对称性与二重积分类似,L,关于,y,轴对称,轮换对称性,(6),可将重心，转动惯量推广到曲线弧上,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路,:,计算定积分,转 化,定理,:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明,:,(1),因此积分限必须满足,(2),注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”,.,如果曲线,L,的方程为,则有,如果方程为极坐标形式,:,则,推广,:,设空间曲线弧的参数方程为,则,例,1.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1),之间的一段弧,.,解,:,上点,O,(0,0),例,2.,计算,其中,L,为双纽线,解,:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,例,3.,计算曲线积分,其中,为螺旋,的一段弧,.,解,:,线,例,4.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周,.,解,:,由对称性可知,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,内容小结,思考与练习,1.,已知椭圆,周长为,a,求,提示,:,原式,=,利用对称性,2.,设均匀螺旋形弹簧,L,的方程为,(1),求它关于,z,轴的转动惯量,(2),求它的质心,.,解,:,设其密度为,(,常数,).,(2),L,的质量,而,(1),故重心坐标为,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念,与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作的功,.,设一质点受如下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“,大化小”,“,常代变”,“,近似和”,“,取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法,:,动过程中变力所作的功,W,.,2.,定义,.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,3.,性质,(1),若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,如果曲线,L,的方程为,则有,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,解法,2,取,y,为参数,则,从点,的一段,.,例,2.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a, 0 ),沿,x,轴到点,B,(,a, 0 ).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,例,3.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,例,4,.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的,等价条件,格林公式及其应用,第十章,区域,D,分类,单,连通区域,(,无,“洞”,区域,),复,连通区域,(,有,“洞”,区域,),域,D,边界,L,的,正向,:,域的内部靠左,定理,1.,设区域,D,是由分段光滑曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上具有连续一阶偏导数,一,、,格林公式,其中,L,是的取正向的边界曲线,说明：,（,1,）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；,（,2,）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也,可以用曲线积分计算二重积分。,（,4,）几何应用：,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,（在格林公式中，取,则有,),（,3,）对于复连通区域,D,，公式右端应包括,D,的全部边,界的曲线积分，且边界的方向对,D,来说都是正方向。,推论,:,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,例,1.,设,L,是一条分段光滑的闭曲线,证明,证,:,令,则,利用格林公式,得,？,例,2.,计算,其中,D,是以,O,(0,0) ,A,(1,1) ,B,(0,1),为顶点的三角形闭域,.,解,:,令,则,利用格林公式,有,例,3.,计算,其中,L,是曲线,上从点,(0,0),到点,的一段。,解,：添加,为,围成的封闭区间,例,4.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线,.,解,:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式,得,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理,2.,设,D,是单连通域,在,D,内,具有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关,.,函数,则以下四个条件等价,:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,说明,:,根据定理,2 ,若在某区域内,则,2),求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内的原函数,:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可,添加辅助线,;,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便的积分路径,;,例,5.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0, 0),到,A,(4, 0).,解,:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D ,则,例,5.,验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x , y,),使,。,。,积分与路径无关,例,6.,计算,其中,为自点,A(-1,0),沿,至,B(2,3),的弧段（如图）,解：由题知,构造一个单连通域,G,，积分在,G,内与路径,则,G,无关，,内容小结,1.,格林公式,2.,等价条件,在,D,内与路径无关,.,在,D,内有,对,D,内任意闭曲线,L,有,在,D,内有,设,P,Q,在,D,内具有一阶连续偏导数,则有,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例,:,设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“,大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量,M,.,其中,表示,n,小块曲面的直径的,最大值,(,曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者,).,定义,:,设, 为光滑曲面,“,乘积,和式极限”,都存在,的,曲面积分,其中,f,(,x, y, z,),叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f,(,x, y, z,),是定义在, 上的一,个有界,函数,记作,或,第一类曲面积分,.,若对, 做,任意分割,和局部区域,任意取点,则称此极限为函数,f,(,x, y, z,),在曲面, 上,对面积,函数,叫做积分曲面,.,则对面积的曲面积分存在,.,对积分域的可加性,.,则有,线性性质,.,在光滑曲面,上连续,对面积,的曲面积分与,对弧长,的曲线积分性质类似,.,积分的存在性,.,若, 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理,:,设有光滑曲面,f,(,x, y, z,),在, 上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则,曲面积分,说明,:,可有类似的公式,.,1),如果曲面方程为,2),若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下,d,S,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分,.,例,1.,计算曲面积分,其中,是球面,被平面,截出的顶部,.,解,:,例,2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成的四面体的表面,.,解,:,设,上的部分,则,与,原式,=,分别表示,在平面,例,3.,设,计算,解,:,锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在,xoy,面上的,投影域为,则,内容小结,1.,定义,:,2.,计算,:,设,则,(,曲面的其他两种情况类似,),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧,.,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(,单侧曲面的典型,),其方向用,法向量指向,方向余弦, 0,为前侧, 0,为右侧, 0,为上侧, 0,为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示,:,其面元,在,xoy,面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,设,为光滑的有向曲面,在 ,上定义了一个,意分割,和在局部面元上,任意取点,分,记作,P, Q, R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或,第二类曲面积分,.,下列极限都存在,向量场,若对, 的,任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上,对坐标的曲面积,二,.,定义,.,引例中,流过有向曲面, 的流体的流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分,;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分,.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分,;,若记,正侧,的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3.,性质,(1),若,之间无公共内点,则,(2),用,表示,的反向曲面,则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理,:,设光滑曲面,取上侧,是, 上的连续函数,则,若,则有,若,则有,(,前正后负,),(,右正左负,),说明,:,如果积分曲面,取下侧,则,例,1.,计算,其中, 是以原点为中心,边长为,a,的正立方,体的整个表面的,外侧,.,解,:,利用对称性,.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解,:,把, 分为上下两部分,根据对称性,思考,:,下述解法是否正确,:,例,2.,计算曲面积分,其中, 为球面,外侧在第一和第八卦限部分,.,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,(,A,在,n,上的投影,),例,4.,设,是其外法线与,z,轴正向,夹成的锐角,计算,解,:,例,5.,计算曲面积分,其中,解,:,利用两类曲面积分的联系,有,原式,=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z =,2,之间部分的下侧,.,原式,=,面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),二重积分,(1),统一积分变量,代入曲面方程,(,方程不同时分片积分,),(2),积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4),确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注,：,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况,.,转化,内容小结,当,时，,（上侧取“,+”,下侧取“,”,),类似可考虑在,yoz,面及,zox,面上的二重积分转化公式,.,第六节,Green,公式,Gauss,公式,推广,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式 通量与散度,第十章,一、高斯,( Gauss ),公式,定理,1.,设空间闭区域, 由分片光滑的闭曲,上,有连续的一阶偏导数,函数,P,Q,R,在,面 所围成, ,的方向取外侧,则有,(Gauss,公式,),例,1.,用,Gauss,公式计算,其中, 为柱面,闭域 ,的整个边界曲面的外侧,.,解,:,这里,利用,Gauss,公式,得,原式,=,(,用柱坐标,),及平面,z =,0 ,z =,3,所围空间,思考,:,若, 改为内侧,结果有何变化,?,例,2.,利用,Gauss,公式计算积分,其中, 为锥面,解,:,作辅助面,取上侧,介于,z =,0,及,z = h,之间部分的下侧,.,所围区域为,则,利用重心公式,注意,例,3.,设,为曲面,取上侧,求,解,:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,定义,:,设有向量场,其中,P,Q,R,具有连续一阶偏导数,是,场内的一片有向,则称,曲面,其单位法向量,n,为向量场,A,通过,有向曲面, 的,通量,(,流量,) .,在场中点,M,(,x,y,z,),处,称为向量场,A,在点,M,的,散度,.,记作,divergence,三、通量与散度,内容小结,1.,高斯公式及其应用,公式,:,应用,:,(1),计算曲面积分,(,非闭曲面时注意添加辅助面的技巧,),(2),推出闭曲面积分为零的充要条件,:,2.,通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域,G,内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面, 的通量为,G,内任意点处的散度为,二、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,第十章,一,、 斯托克斯,( Stokes ),公式,定理,1.,设光滑曲面, 的边界 是分段光滑曲线,(,斯托克斯公式,),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与 ,的正向符合,右手法则,在包含 在内的一,则有,注意,:,如果, 是,xoy,面上的一块平面区域,则,斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例,.,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,:,或用第一类曲面积分表示,:,例,1.,利用斯托克斯公式计算积分,其中,为平面,x+ y+ z,= 1,被三坐标面所截三角形的整个,解,:,记三角形域为,取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,例,2.,为柱面,与平面,y = z,的交线,从,z,轴正向看为顺时针,计算,解,:,设,为平面,z = y,上被,所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,三、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面, 的法向量为,曲线,的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令,引进一个向量,记作,向量,rot,A,称为向量场,A,的,称为向量场,A,定义,:,沿有向闭曲线,的,环流量,.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式,:,旋度,.,rotation,的外法向量,计算,解,:,例,3.,设,
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