第四章 单利与复利

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 复利与年金,教学目的和要求,：,通过本章学习，学生应当掌握货币的时间价值、单利与复利、终值与现值以及年金等概念及其运用。,本章的重点和难点：,年金的计算及其运用。,(,本章的内容和管理会计有交叉，主要内容在管理会计中做讲解,),第四章 复利与年金,本章内容：,货币时间价值、单利与复利、终值与现值,第一节 货币的时间价值,第二节 单利和复利,第三节 年金,第一节,货币的时间价值,货币的时间价值含义,在日常生活中,，,你把,100,元存入银行一年，利率是,5%,一年后，银行会给你,105,元，这,5,元就是利息，是银行付你的报酬，换句话说，今天的,100,元钱与一年后的,105,元等值。,在本金、利率相同的情况下，存款时间越长，利息就越多。同样，当你从银行借款时，你要向银行支付借款利息。企业若要发行债券，也要向债券持有者支付债券的利息。这里的银行借款利息和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时间越长，资金的成本就越高。,原因是：随着时间的推移，货币会增值。这就是货币的时间价值。注意：只有将货币作为资金使用才具有增值的功能。,货币的时间价值，是指在正常情况下，两个不同时点的同等数额的货币，其价值是不相等的。换言之，是指货币随着时间的推延而形成的增值。,也就是说，今年的,100,元钱与去年的,100,元钱，其价值是不相等的，年初的,100,元等于年末的,105,元。这一随时间变化的差额就是货币的时间价值。,它有两种表示形式：,绝对数形式（利息）,和,相对数形式（利息率）,。,货币的时间价值含义,上例中用绝对数表示的就是,5,元，用相对数表示的就是,5%,，即这个差额与本金的比率：,5100=5%,。,货币的时间价值往往指随着时间的推延，货币能够增值。但要，,作为一般等价物的货币本身并不具备这种增值能力，只有在货币作为资金使用，并与劳动要素相结合的条件下，才能使价值增值。,货币的时间价值指的便是这种增值现象。,第二节 单利和复利,一、,单利,单利,-,是只对本金计息。计算前，先将符号定义如下：,P,本金（现值）；,i,利率 ；,F,终值；,I-,利息；,n,期数或年数；,A,每年等额支付或收到的款项；,则：,I=P,i,n,【,例,1,】,某人将,1000,元存入银行，银行存款,年利率为,10%,，按单利计息，,5,年后的本利和：,利息,1000,10%5,500,（元）,本利和,=1000+500=1500,（元）,可以看出，若按单利计息，各计息期的本金和利息都是相同的。,二、复利,复利是根据本金和前期利息之和计算的利息，也说是不仅要计算本金的利息，还要计算利息的利息。复利俗称“利滚利”。,续前例：,第一年利息,:,I,1,=100010%=100,（元）,第二年利息,:,I,2,=(1000+100)10%=110(,元,),第三年利息,:,I,3,=(1000+100+110)10%=121(,元,),第四年利息：,I,4,=(1000+100+110+121)10%=133.1(,元,),第五年利息：,I,5,=(1000+100+110+121+133.1)10%=146.4(,元,),到期利息：,I=,100+110+121+133.1+146.4611(,元）,复利计算的利息比单利计息要多。,三、终值和现值,(,一,),终值,到期值或本利和，是指一定期间后本金与利息的和。,按计算方式不同：单利终值和复利终值。,比较单利终值和复利终值计算，如果本金,P,，,利率为,i,，见下表：,表,4-1,单利终值与复利终值的计算,单利终值,复利终值,第一年年末,第二年年末,第,n,年年末,F=P+Pi=P(1+i),F=P+P2i=P(1+2i),F=,P+Pni,=P(1+ni),F= P(1+i),F=P(1+i)(1+i)=P(1+i),2,F=P(1+i)(1+i)(1+i)=P(1+i),n,复利终值,复利终值是指按复利计息的一定时期的本利和。,计算公式：,F,P,（,1,i,）,n,式中,：,P,本金（现值）,i,利率,n,计息期,F,终值,其中（,1,i,）,n,被称为复利终值系数或,1,元的复利终值，用符号（,F/P,，,i,，,n,）,表示。见附表,1,。,例,2,如果你想存入,1000,元，将来收回,2000,元，当年利率为,10%,时，要存几年？,F= P(1+i),n,，即,2000=1000(1+10%),n,(1+10%),n,=20001000=2,查复利终值系数表，,10%,这一栏，查得期限为,7,年时，终值系数为,1.94872,，期限为,8,年的终值系数为,2.14359,。说明存储期在,7,至,8,年之间，可使将来收到的本利和为,2000,元。可用图,4-1,表示如下：内插法的运用,A B C,(7,，,1.94872) (n,，,2) (8,，,2.14359),应用等比公式，可求得,n,：,同理，在已知本金（,P,）、终值（,F,）、期限（,n,）条件下，可求出预期的报酬率（,i,）。,(,二,),现值,现值指一定期间后，一定量的货币（终值）在现在的价值。,单利现值和复利现值,假定你想在将来得到一笔钱（终值），按一定的利率，现在一次应存入多少钱呢？按单利计算，公式如下：,单利现值公式：,P,F/1+ni,若按复利计算，则公式是：,复利现值：,是指按复利计算的将来一定时期达到预定金额现在需要的投入数。,复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从复利终值计算公式可知：,P,F/,（,1,i,）,n,F,（,1,i,）,n,其中,（,1,i,）,n,被称为,复利现值系数或,1,元的复利现值,，用符号,（,P/F,，,i,，,n,）,表示。见附表,2,。复利现值系数与复利终值系数互为倒数。,【,例,3,】,企业打算存入银行一笔钱，,5,年后,一次可取出本利和,1000,元，已知复利年利,率为,6%,，计算现在一次需存入银行多少钱？,根据题意,：,F,1000 i,6% n,5,根据公式,：,P,F,（,1,i,）,n,1000 0.747,747,（元）,在,P,F,i,n,中，可已知其中三个，根据复利终值和现值系数表，用内插法求得另一个值。见教材例题,3,。,又上例，若年利率,8%,，现在存入,747,元，几年后可一次取出,1000,元？,i=6%,（,P/F,，,6%,，,5,）,=0.747,i= 8%,（,P/F,，,8%,，,n,）,=0.747,查表：,n=5,（,P/F,，,8%,，,5,）,=0.681,n=3,（,P/F,，,8%,，,3,）,=0.794,说明,3,n,5,(5-n),/(0.681-0.747),=(5-3)/(0.681-0.794),n3.832,即：需要,3,年,10,个月,(,三,),名义利率与实际利率的关系,在以上讨论中，我们假定利率是年利率，并且每年按复利计息一次。但实际生活中，某些款项在,1,年内不止计息一次，有些抵押借款每月或每季计息一次，有些债券半年计息一次。,名义利率是指以,1,年为基础的利率。,当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。,实际利率是真正有效的利率，随每年复利次数而变。,如果,1,年只计息一次，名义利率与实际利率相等。,如,1,年内复利,m,次，名义利率为,r,，则,:,实际利率,i,的公式：,i,(1,r/m),m,1 1+i= (1,r/m),m,【,例,4,】,名义利率为,6,，本金,1000,元，每半年复利一次，,5,年后本利和是多少？,实际利率,i,(1,6%2),2,1,6.09%,第一种方法：,F,1000(1,6%2),10,1000(1,3%),10,1344,第二种方法：,F,1000(1,6.09%),5,1344,答：,5,年以后本利和,1344,元。,第三节 年金,1,、年金概念,年金是指在一定时期内，每隔相同时期收入或支出相当金额的款项,2,、年金特点,（,1,）间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发生一次收款或付款业务。,（,2,）金额相等。各期发生的款项在数额上相等。,在现实经济生活中，分期等额形成或发生的各种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利息、优先股股息、以及等额收回的投资额等，多属于年金的范畴。,3,、年金分类：,年金按收付的时间不同具体划分为：普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。,(1),普通年金,-,凡收入或支出发生在每期期末的年金。,(2),预付年金,-,凡收入或支出发生在每期期初的年金。,(3),递延年金,-,凡收入或支出发生在第一期以后某一时间的年金。,(4),永续年金,-,凡无限期收入或支出的年金。,一、普通年金,普通年金是指收入或支出发生在每期期末,的年金，又叫后付年金，用,A,表示。,1,、,普通年金终值计算,普通年金终值简称年金终值，记作,F,A,。,普通年金终值是将每期的金额按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，即复利终值之和，就是该年金终值。计算公式：,F,A,A,（,1,i,）,n,1i,其中,（,1,i,）,n,1/i,被称为,年金终值系数或一元的年金终值，用符号（,F,A,/A,，,i,，,n,）,表示，附表,3,为年金终值系数,表。,普通年金是后付年金，最后一期不,计息，因此，计息期为总期数减,1,。,设某企业于每年年底在银行存款,1,元，连续存,4,年，按年利率,i,计息，则第,4,年末该项年金的终值可图,4-2,所示：,0 1 2 3 4,1,（,1+i,） （,1+i),2,（,1+i),3,1,（,1+i,） （,1+i),2,1,（,1+i,）,1,终值计算如下：,（,F,A,/A,4,i,）,=,1+,（,1+i,）,+,（,1+i,）,2,+,（,1+i,）,3,(1),将（,1,）式两边均乘（,1+i,），得：,（,F,A,/A,，,4,，,i,）,（,1+i,）,=,（,1+i,）,+,（,1+i,）,2,+,（,1+i,）,3,+,（,1+i,）,4,(2),（,2,）式减（,1,）式，得：,(F/A,4,i),（,1+i,）,-(F/A,4,i) =,（,1+i,）,4,-1,(F/A,4,i),（,1+i-1,）,=,（,1+i,）,4,-1,即,1,元的普通年金终值系数。表示利率为,i,时，,1,元普通年金在,n,期后的终值。,【,例,5,】,企业连续每年末存款,1000,元，按,10%,的复利计息，第,10,年末可以一次取出本利和为多少？,根据题意：年金,A,1000,期数,n,10,利率,i,10%,则：,F,A,A ,（,1,i,）,n,1/i,A,（,F,A,/A,，,10%,，,10,）,100015.937,15937,（元）,2,、年偿债基金的计算,年偿债基金又叫积累基金，是指已知年金终值,F,A,，,求年金,A,的过程，它是年金终值的逆运算，亦属于已知整取求零存的问题。根据年金终值公式可知：,A,F,A,（,1,i,）,n,1/i,F,A,（,F,A,/A,，,i,，,n,）,该系数可用年金终值系数的倒数求出来。,【,例,6,】,企业准备在,10,年内每年末存入银行一笔钱，以便在第,10,年末归还一笔到期,100,万元的债务。如果存款的年利率为,10%,，请问每年末至少应存入银行多少资金？,据题意：,F,A,100,万元,i,10% n,10,则年金,:A,F,A,（,1,i,）,n,1/i,F,A,（,F,A,/A,，,10%,，,10,）,10015.937,6.275,万元,答：每年末至少存入银行,6.275,万元。,3,、普通年金现值计算,普通年金现值简称年金现值，记作,P,A,。,普通年金现值是指每期后收（付）等额款项复利现值之和，计算公式：,P,A,A,1,（,1,i,）,n,i,其中,1,（,1,i,）,n,/i,被称为,年金现值系数或一元的年金现值,，用符号,（,P,A,/A,，,i,，,n,）,表示，附表,4,为年金现值系数表。,【,例,7,】,企业准备连续,10,年在每年末取出,1000,元，按,10%,的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？,根据题意,：,A,1000 n,10 i,10%,则,:P,A,A1,（,1,i,）,n,/i,A,（,P,A,/A,，,10%,，,10,）,10006.145,6145,（元）,答：现在一次需支付,6145,元。,4,、年回收额的计算,年回收额的计算是年金现值计算的逆运算，即已知年金现值,P,A,，,求年金,A,，,也就是已知整存求零取的问题。根据年金现值公式可知：,A,P,A,1,（,1,i,）,n,/i,P,A,（,P,A,/A,，,i,，,n,）,该系数可用年金现值系数倒数求出来。,【,例,8,】,企业准备投资,100,万元，该项目预,计有效年限为,10,年，若企业期望的报酬率为,10%,，计算企业至少每年末要从该项目中获得多少报酬才合算？,据题意：,P,A,100,万元,i,10% n,10,则年金,A,P,A,1,（,1,i,）,n,/i,P,A,（,P,A,/A,，,10%,，,10,）,1006.145,16.274,答：企业每年末应获得,16.274,万元才合算。,二、预付年金,预付年金是指收入或支出发生在每期期初，也叫先付年金,，记,作,A,。,1,、预付年金终值计算,预付年金终值是指每期先收（付）等额款项复利终值之和。记作,F,A,预付年金终值计算和普通年金计算相比,差一个计息期，可以根据普通年金终值计算公式加以调整，所以，预付年金终值计算公式为：,预付年金终值计算公式为：,F,A,A ,（,1,i,）,n,1,1/ i 1,A,（,F,A,/A,，,i,，,n,1,）,1,或 ,A ,（,1,i,）,n,1/ i,（,1,i,）,A,（,F,A,/A,，,i,，,n,）,（,1,i,）,即,:n,期的预付年金终值系数等于,n+1,期的普通年金终值系数减,1,。或等于,n,期的普通年金终值系数乘以,1+i,。,【,例,9,】,企业连续每年初存款,1000,元，按,10%,的复利计息，第,10,年末可以一次取出本利和为多少？,根据题意：,A,1000 n,10 i,10%,则：,F,A,A,（,F,A,/A,，,i,，,n,1,）,1,1000,（,F,A,/A,10%,11,）,1,1000,（,18.531-1),17531,（元）,答：第,10,年末可取出,17531,元。,2,、预付年金现值计算,是指每期先收（付）等额款项复利现值之和。记作,P,A,预付年金现值计算同样可以根据普通年金现值计算公式加以调整，预付年金现值计算公式为：,P,A,A1,（,1,i,）,(n,1),/ i,1,A,（,P,A,/A,，,i,，,n,1,）,1,或 ,A1,（,1,i,）,n,/ i ,（,1,i,）,A,（,P,A,/A,，,i,，,n,）,（,1,i,）,即：,n,期的预付年金现值系数等于,n,1,期的普通年金现值系数加,1,。或等于,n,期的普通年金现值系数乘以,1+i,。,【,例,10,】,企业准备现在一次投入一笔资金，以后连续,10,年每年初可取得,1000,元，按,10%,的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？,根据题意：,A,1000 n,10 i,10%,则：,P,A,A,（,P,A,/A,，,i,，,n,1,）,+1,1000,（,P,A,/A,10%,9,）,+1,1000,（,5.759+1,）,6759,（元）,答：现在一次需支付,6759,元。,三、递延年金现值计算,递延年金是指在第一期以后（从,0,期隔,S,期）才发生的年金，也叫延期年金，记,作,A,。,递延年金终值不受递延期的影响，计算方法与普通年金终值相同。,递延年金现值有两种方法,:,(1),先算出普通年金现值（,n-s,),，再将其从递延期,(s),按复利现值系数折算至现在；,(2),算出包括递延期在内的年金现值,(n),，减去按递延期计算的年金现值,(s),。即：,递延年金现值的计算公式：,P,A,A1,（,1,i,）,(n,s), /i ,（,1,i,）,-,s,A(P,A,/A,，,i,，,n,s),(P,/F,，,i,，,s),或,A,”,1,（,1,i,）,n,/ i,1,（,1,i,）,s,/ i,A(P,A,/A,，,i,，,n),(P,A,/A,，,i,，,s),【,例,11,】,企业准备现在一次投入一笔资金，从,第,4,年末每年取出,1000,元至第,10,年，按,10%,的复,利计息，问现在一次需支付的款项为多少？,据题意：,A,”,1000 n,10 s,3 i,10%,P,A,A1,(1,i),n,/i-1,(1,i),s,/i,A(P,A,/A,10%,10),(P,A,/A,10%,3),1000(6.145,2.487),3658,或,A1,（,1,i,）,(n,s),/ i ,（,1,i,）,s,A(P,A,/A,，,10%,，,7) (P/F,，,10%,，,3),10004.8680.751,3656,答：现在一次需支付,3656,元。,四、永续年金现值的计算,永续年金是指无限期等额支付的特种年金,即当,n,趋近时的普通年金。如存本取息、土地使用权收入。,由于永续年金没有终点，故不存在终值问题，只计算现值。,当,n,时，,(1,i),n,的极限为零，则年金现值系数公式：,（,P,A,/,A,n,i,)= 1-(1+i)-n /i,可写成： （,P,A,/,A,n,i,)= 1/i,永续年金现值公式：,P,A,A1/ i,【,例,12,】,企业持有某公司的股票每年股利收益为,10,万元，假定企业不准备在近期转让该股票，对该项股票投资进行估价。（已知折现率,10%,）,根据题意,：,A,10 i,10%,P,A,A 1/ i,101/10%,100,万元,即：企业现在需要投资,100,万元。,