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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、概念,:,定义,3.7,连续,连续点,。,4,函数的连续性,在 连续,定义,3.7,（单侧连续）,左连续,；,右连续,。,若,若,定义,3.8,注,:,在定义域上连续的函数称为连续函数,.,例,1,证,二、连续函数的四则运算,设,则,（,1,）,（这里,为常数）,;,（,2,）,（,3,）,三、复合函数的连续性,定理,3.14,三、不连续点的类型,不连续点的分类,第一类不连续点,(,跳跃间断点,),跃度,。,跳跃间断点,。,例,:,符号函数,1,-1,x,y,o,是第一类间断点。,第二类间断点,例,:,狄利克雷函数,在定义域,R,内每一点处都间断,且都是第二类间断点,.,可去间断点,例,解：,如上例中,初等函数的连续性,定理,3.15,一切初等函数在其定义域上都是连续的,.,（,1,） 三角函数,.,反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性,。,为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。,（,2,） 指数函数,.,设一组实数的闭区间序列,(i),定义,3.10,满足：,(ii),则 构成一个区间套,（区间套定理）设,是一个区间套，,则必存在唯一的实数,r,使得,r,属于所有闭区间,即,且,定理,3.16,证明：,用单调有界原理证明区间套定理：,定理,3.17,连续函数介值定理,若,在,连续，,则存在,，使得,证明：,用区间套定理。记,用,二等分,，若,，则定理证完。否则，若,则取,；若,则取,用,二等分,，,如此继续下去，,得一区间套,，满足,根据区间套定理，,知存在,，有,由,在,r,连续，知,故,定理证完。,反函数的连续性,定理,3.18,(,反函数存在、连续性定理,),（,3,） 反三角函数,.,应用反函数连续性定理，继续证明定理,3.15,。,反三角函数在其定义域内皆连续,.,（,4,） 对数函数,.,（,5,） 幂函数,.,总结,初等函数的连续性,一切初等函数在其定义域上都是连续的,.,注：,一般可用函数的连续性用代入法求极限。,5,无穷小量与无穷大量的比较,一、无穷小量的比较,（一）无穷小量,定义,1,（二）无穷小量的比较,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,.,不可比,.,观察各极限,高阶无穷小量,同阶无穷小量,等价无穷小量,定义,定理,1,常用的等价无穷小,:,（三）无穷小量的阶,:,（四）无穷小量的性质,:,问题,:,都是无穷小量，,不一定,例当 时,故当 时,二、无穷大量的比较,（一）无穷大量,定义,2,（二）无穷大量的比较,高阶无穷大量,同阶无穷大量,等价无穷大量,定义,定理,2,内容小结,1.,数列极限的,“, N,”,定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,3.,极限存在准则,:,夹逼准则,;,单调有界准则,;,柯西准则,4.,函数极限的,或,定义及应用,5.,函数极限的性质,:,保号性定理,与左右极限等价定理,6.,无穷小量与无穷大量的定义,7.,无穷小量与函数极限的关系,8.,无穷小量与无穷大量的关系,9.,无穷小量的比较,设,对同一自变量的变化过程均为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,习题,1.,设函数,提示,:,在,x,= 0,连续,则,a,=,b,=,.,有第二类间断点,及可去间断点,解,:,为第二类间断点,所以,为可去间断点,极限存在,2.,设函数,试确定常数,a,及,b .,3.,求下列极限：,提示,:,无穷小,有界,令,5.,当,时,是,的几阶无穷小,?,解,:,设其为,的,阶无穷小,则,因,故,补充题,1.,求,解,:,令,则,利用夹逼准则可知,2.,求,解,:,原式,= 1,(2000,考研,),证,:,3.,证明,:,若,令,对任意,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界,.,
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